1. Um oscilador harmönico oscila com amplitude de movimento igual a 21 cm , com fase inicial de 90^{\circ}, e frequência de oscilação igual a 5 s . Obtenha:
c) A equacão da aceleracão do oscilador em funcão do tempo:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da aceleração em função do tempo:
  • Amplitude do movimento: A=21\\ \text{cm}.
  • Fase inicial: 90^\circ.
  • "Frequência de oscilação igual a 5\\ \text{s}" (valor fornecido com unidade de tempo).
    O que é pedido: a expressão matemática a(t) que descreve a aceleração do oscilador harmônico em função do tempo.

Passo 2

Interpretação da informação sobre frequência/periodo (decisão necessária para resolver):
  • O enunciado escreveu o número acompanhado de unidade de tempo \text{s}. A quantidade com unidade de segundos corresponde ao período do movimento. Portanto vou interpretar esse dado como o período
T = 5\\ \text{s}.
(Se o enunciado quisesse a frequência em hertz teria usado unidade \text{s}^{-1}.)
Também converto a amplitude para unidades SI:
A = 21\\ \text{cm} = 0,21\\ \text{m}.
E converto a fase inicial para radianos:
\phi_0 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 3

Modelo matemático do movimento harmônico simples (MHS) e definição das variáveis:
  • Uma forma comum para a posição é
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\phi_0\bigr),
onde:
  • x(t) é a posição em função do tempo (em metros),
  • A é a amplitude (em metros),
  • \omega é a frequência angular (em \text{rad}\,\text{s}^{-1}),
  • \phi_0 é a fase inicial (em radianos).
  • A relação entre período T e frequência angular \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=5\\ \text{s} obtém-se
\omega=\frac{2\pi}{5}\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Fórmula da aceleração em MHS e derivação por diferenciação:
  • A aceleração é a segunda derivada temporal da posição:
a(t)=\frac{d^2 x}{dt^2}.
  • Derivando x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0) uma vez:
\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\phi_0).
  • Derivando novamente:
\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi_0).
Portanto, de forma geral:
a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi_0).
(Observação útil: essa expressão é equivalente à relação direta a(t)=-\omega^2 x(t), porque x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0).)

Passo 5

Especializando para os valores numéricos dados ( A=0,21\\ \text{m}, \phi_0=\tfrac{\pi}{2}, \omega=\tfrac{2\pi}{5}):
  • Substituindo a fase \phi_0=\tfrac{\pi}{2} na expressão de a(t):
a(t)=-A\omega^2\cos\!\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right).
  • Usando a identidade trigonométrica \cos\!\left(\theta+\tfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta, a expressão pode ser simplificada para
a(t)=A\omega^2\sin(\omega t).
  • Calcule \omega^2:
\omega^2=\left(\frac{2\pi}{5}\right)^2=\frac{4\pi^2}{25}.
  • Calcule o coeficiente numérico A\omega^2:
A\omega^2 = 0,21\cdot\frac{4\pi^2}{25}.
Agora avalio numericamente (aproximação):
\omega^2=\frac{4\pi^2}{25}\approx 1,5791367\quad(\text{rad}^2\!\cdot\!\text{s}^{-2}),
A\omega^2 \approx 0,21\times 1,5791367 \approx 0,3316187\\ \text{m/s}^2.
Arredondando razoavelmente,
A\omega^2 \approx 0,3316\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Apresento a expressão final, simbólica e numérica, para a aceleração do oscilador:
  • Forma simbólica conveniente:
a(t)=A\omega^2\sin(\omega t), \quad\text{com}\quad \omega=\frac{2\pi}{5}.
  • Forma numérica explícita (valores substituídos):
a(t)\approx 0,3316\\ \sin\!\left(\frac{2\pi}{5}\,t\right)\\ \text{m/s}^2.

Resposta

a(t)=0,3316\\ \sin\!\left(\frac{2\pi}{5}\,t\right)\\ \text{m/s}^2

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