- Um oscilador harmönico oscila com amplitude de movimento igual a 21 cm , com fase inicial de
, e frequência de oscilação igual a 5 s . Obtenha:
c) A equacão da aceleracão do oscilador em funcão do tempo:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da aceleração em função do tempo:
- Amplitude do movimento:
. - Fase inicial:
. - "Frequência de oscilação igual a
" (valor fornecido com unidade de tempo).
O que é pedido: a expressão matemáticaque descreve a aceleração do oscilador harmônico em função do tempo.
Passo 2
Interpretação da informação sobre frequência/periodo (decisão necessária para resolver):
- O enunciado escreveu o número acompanhado de unidade de tempo
. A quantidade com unidade de segundos corresponde ao período do movimento. Portanto vou interpretar esse dado como o período
(Se o enunciado quisesse a frequência em hertz teria usado unidade
.)
Também converto a amplitude para unidades SI:
Também converto a amplitude para unidades SI:
E converto a fase inicial para radianos:
Passo 3
Modelo matemático do movimento harmônico simples (MHS) e definição das variáveis:
- Uma forma comum para a posição é
onde:
-
é a posição em função do tempo (em metros), -
é a amplitude (em metros), -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (em radianos). - A relação entre período
e frequência angular é
Substituindo
obtém-se
Passo 4
Fórmula da aceleração em MHS e derivação por diferenciação:
- A aceleração é a segunda derivada temporal da posição:
- Derivando
uma vez:
- Derivando novamente:
Portanto, de forma geral:
(Observação útil: essa expressão é equivalente à relação direta
, porque
.)
Passo 5
Especializando para os valores numéricos dados (
,
,
):
- Substituindo a fase
na expressão de :
- Usando a identidade trigonométrica
, a expressão pode ser simplificada para
- Calcule
:
- Calcule o coeficiente numérico
:
Agora avalio numericamente (aproximação):
Arredondando razoavelmente,
Passo 6
Apresento a expressão final, simbólica e numérica, para a aceleração do oscilador:
- Forma simbólica conveniente:
- Forma numérica explícita (valores substituídos):