Enunciado: Dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo reto. Uma barra condutora parte do vértice em t = 0 e se move entre os trilhos com velocidade constante 5,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Há campo magnético uniforme \mathrm{B}=0,350 \mathrm{~T}, dirigido para fora da página. Determine o fluxo magnético pelo triângulo no instante \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s}, a f.e.m. induzida nesse instante e os parâmetros a e n se \varepsilon=a t^{\mathrm{n}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade da barra: v=5{,}20\\ \mathrm{m/s}.
    • Campo magnético uniforme: B=0{,}350\\ \mathrm{T}, dirigido para fora da página.
    • A barra parte do vértice (ponto onde os dois trilhos se encontram) em t=0 e desliza sempre com os extremos sobre os dois trilhos retilíneos e perpendiculares.
    • Instante em que se pede: t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    1. O fluxo magnético pelo triângulo no instante t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
    2. A f.e.m. induzida nesse instante.
    3. Determinar a e n se \varepsilon = a\,t^{n}.
Observação geométrica que vamos usar (não pede confirmação): ao deslizar, os pontos da barra sobre cada trilho possuem a mesma distância x ao vértice (configuração simétrica). Assim a região entre os trilhos e a barra é um triângulo retângulo com catetos de comprimento x. A barra parte do vértice, portanto x cresce com o tempo; assumimos x=v\,t.

Passo 2

Entendendo o fluxo magnético e a área do triângulo.
  • Definição de fluxo magnético: o fluxo através de uma superfície é a integral do campo magnético sobre a superfície. Para campo uniforme perpendicular à superfície,
\Phi = B \cdot A,
onde A é a área da superfície.
  • Aqui o triângulo tem os dois catetos iguais com comprimento x. A área de um triângulo retângulo com catetos x e x é
A = \tfrac{1}{2}x^{2}.
  • Como o campo é perpendicular ao plano (direção para fora da página), não há fator angular adicional: o cosseno entre \vec{B} e a normal à superfície é \pm 1. Tomaremos o sinal de fluxo positivo quando \vec{B} sair da página (a convenção do problema).
  • Ligando tudo:
\Phi(t)=B\cdot A(t)=B\cdot \tfrac{1}{2}x(t)^{2}.

Passo 3

Relacionando x(t) com a velocidade e substituindo.
  • A barra parte do vértice em t=0 e desloca de modo que a projeção ao longo dos trilhos cresce com velocidade v. Assim
x(t)=v\,t.
  • Substituindo em A e em \Phi:
A(t)=\tfrac{1}{2}\big(vt\big)^{2}=\tfrac{1}{2}v^{2}t^{2},
\Phi(t)=B\cdot \tfrac{1}{2}v^{2}t^{2}=\tfrac{1}{2}B v^{2} t^{2}.

Passo 4

Calcular numericamente o fluxo no instante t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro calcule v t e v^{2}t^{2}:
v t = 5{,}20\cdot 3{,}00 = 15{,}6\\ \mathrm{m},
v^{2}t^{2} = (5{,}20)^{2}\cdot (3{,}00)^{2} = 27{,}04\cdot 9 = 243{,}36\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a fórmula da etapa anterior:
\Phi(3{,}00)=\tfrac{1}{2}\,B\,v^{2}t^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}350\cdot 243{,}36.
  • Multiplicando:
\Phi(3{,}00)=0{,}175\cdot 243{,}36 = 42{,}6\\ \mathrm{Wb}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{alg. sig.}).

Passo 5

Explicando a f.e.m. induzida (Lei de Faraday) e calculando a expressão geral.
  • Lei de Faraday (forma maciça e útil): a f.e.m. induzida em uma malha é
\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt},
onde o sinal menos é a Lei de Lenz: a corrente induzida se opõe à variação do fluxo que a provoca.
  • Temos \Phi(t)=\tfrac{1}{2}B v^{2}t^{2}. Derivando em relação a t:
\varepsilon(t) = -\dfrac{d}{dt}\Big(\tfrac{1}{2}B v^{2} t^{2}\Big) = -\tfrac{1}{2}B v^{2}\cdot 2t = -B v^{2} t.
  • Interpretação simples: a magnitude da f.e.m. é |\varepsilon|=B v^{2} t; o sinal negativo indica que a f.e.m. age para produzir corrente que oppose o aumento do fluxo.

Passo 6

Calcular numericamente a f.e.m. no instante t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Usando a expressão:
\varepsilon(3{,}00) = -B v^{2} t = -0{,}350\cdot 27{,}04\cdot 3{,}00.
  • Primeiro B v^{2} = 0{,}350\cdot 27{,}04 = 9{,}464.
  • Então \varepsilon(3{,}00) = -9{,}464\cdot 3{,}00 = -28{,}4\\ \mathrm{V} (aprox., 3 alg. sig.).
  • A magnitude da f.e.m. é 28{,}4\\ \mathrm{V}. O sinal negativo indica que a direção da f.e.m. (e da corrente induzida, se o circuito estiver fechado) é tal que tende a criar um campo magnético para dentro da página (opondo o aumento do fluxo para fora).

Passo 7

Determinar os parâmetros a e n na forma \varepsilon = a\,t^{n}.
  • Comparando com \varepsilon(t) = -B v^{2} t, temos dependência direta em t^{1}. Logo
n=1, \qquad a = -B v^{2}.
  • Se o enunciado pedir a como coeficiente da expressão algébrica (incluindo sinal), então a=-B v^{2} = -9{,}464\\ \mathrm{V/s}. Se preferir separar sinal e pedir apenas o módulo do coeficiente, pode usar a= B v^{2}=9{,}464\\ \mathrm{V/s} e tratar o sinal com a potência ímpar. Normalmente se escreve \varepsilon = a\,t^{n} com a incluindo o sinal encontrado; aqui faremos isso explicitamente.

Resposta

\Phi(3{,}00\\ \mathrm{s})=42{,}6\\ \mathrm{Wb}
\varepsilon(3{,}00\\ \mathrm{s})=-28{,}4\\ \mathrm{V}
a=-9{,}46\\ \mathrm{V/s}
n=1

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