Enunciado: Dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo reto. Uma barra condutora parte do vértice em t = 0 e se move entre os trilhos com velocidade constante
. Há campo magnético uniforme
, dirigido para fora da página. Determine o fluxo magnético pelo triângulo no instante
, a f.e.m. induzida nesse instante e os parâmetros
e
se
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Velocidade da barra:
. - Campo magnético uniforme:
, dirigido para fora da página. - A barra parte do vértice (ponto onde os dois trilhos se encontram) em
e desliza sempre com os extremos sobre os dois trilhos retilíneos e perpendiculares. - Instante em que se pede:
.
- Velocidade da barra:
-
O que o enunciado pede:
- O fluxo magnético pelo triângulo no instante
. - A f.e.m. induzida nesse instante.
- Determinar
e se .
- O fluxo magnético pelo triângulo no instante
Observação geométrica que vamos usar (não pede confirmação): ao deslizar, os pontos da barra sobre cada trilho possuem a mesma distância
ao vértice (configuração simétrica). Assim a região entre os trilhos e a barra é um triângulo retângulo com catetos de comprimento
. A barra parte do vértice, portanto
cresce com o tempo; assumimos
.
Passo 2
Entendendo o fluxo magnético e a área do triângulo.
- Definição de fluxo magnético: o fluxo através de uma superfície é a integral do campo magnético sobre a superfície. Para campo uniforme perpendicular à superfície,
onde
é a área da superfície.
- Aqui o triângulo tem os dois catetos iguais com comprimento
. A área de um triângulo retângulo com catetos e é
-
Como o campo é perpendicular ao plano (direção para fora da página), não há fator angular adicional: o cosseno entre
e a normal à superfície é . Tomaremos o sinal de fluxo positivo quando sair da página (a convenção do problema). -
Ligando tudo:
Passo 3
Relacionando
com a velocidade e substituindo.
- A barra parte do vértice em
e desloca de modo que a projeção ao longo dos trilhos cresce com velocidade . Assim
- Substituindo em
e em :
Passo 4
Calcular numericamente o fluxo no instante
.
- Primeiro calcule
e :
- Agora a fórmula da etapa anterior:
- Multiplicando:
Passo 5
Explicando a f.e.m. induzida (Lei de Faraday) e calculando a expressão geral.
- Lei de Faraday (forma maciça e útil): a f.e.m. induzida em uma malha é
onde o sinal menos é a Lei de Lenz: a corrente induzida se opõe à variação do fluxo que a provoca.
- Temos
. Derivando em relação a :
- Interpretação simples: a magnitude da f.e.m. é
; o sinal negativo indica que a f.e.m. age para produzir corrente que oppose o aumento do fluxo.
Passo 6
Calcular numericamente a f.e.m. no instante
.
- Usando a expressão:
-
Primeiro
. -
Então
(aprox., 3 alg. sig.). -
A magnitude da f.e.m. é
. O sinal negativo indica que a direção da f.e.m. (e da corrente induzida, se o circuito estiver fechado) é tal que tende a criar um campo magnético para dentro da página (opondo o aumento do fluxo para fora).
Passo 7
Determinar os parâmetros
e
na forma
.
- Comparando com
, temos dependência direta em . Logo
- Se o enunciado pedir
como coeficiente da expressão algébrica (incluindo sinal), então . Se preferir separar sinal e pedir apenas o módulo do coeficiente, pode usar e tratar o sinal com a potência ímpar. Normalmente se escreve com incluindo o sinal encontrado; aqui faremos isso explicitamente.