1. Um oscilador harmönico oscila com amplitude de movimento igual a 0,01 \mathrm{~cm}, com fase inicial de 0^{\circ}, e frequência de oscilação igual a 0,05 \mathrm{~s}. Obtenha:

Passo 1

O enunciado (literalmente) nos dá estas informações:
  • Amplitude do movimento: 0{,}01\\ \mathrm{cm}.
  • Fase inicial: 0^\circ.
  • “Frequência de oscilação igual a 0{,}05\\ \mathrm{s}” (esta frase está ambígua — veja abaixo).
    O enunciado termina em “Obtenha:” mas não especifica quais quantidades pedir. Portanto falta dizer explicitamente o que deve ser obtido. Como não foi pedido nada em específico, vou:
  • Anotar os dados claros;
  • Explicar a ambiguidade sobre a grandeza dada em segundos;
  • Assumir a interpretação mais razoável (e comumente usada neste tipo de exercício) e então calcular as grandes quantidades que normalmente se pedem para um oscilador harmônico simples: período, frequência (Hz), pulsação ( \omega), equação do movimento x(t), velocidade v(t), aceleração a(t), velocidade máxima v_{\max} e aceleração máxima a_{\max}.
    Se a sua prova pedir alguma outra grandeza específica, essas fórmulas e resultados cobrem o que costuma ser exigido e você poderá extrair o que precisa.

Passo 2

Sobre a ambiguidade: o enunciado diz “frequência de oscilação igual a 0{,}05\\ \mathrm{s}”. Normalmente a frequência é dada em hertz ( \mathrm{Hz} = \mathrm{s}^{-1}) e o período é dado em segundos. Como o valor está em segundos, a interpretação correta e razoável é que esse valor seja o período T do movimento, i.e. T=0{,}05\\ \mathrm{s}. Vou adotar essa interpretação. Se, por outro lado, o enunciado realmente quisesse a frequência numérica em hertz, o correto seria escrever f em \mathrm{Hz}; mas aí o número dado não estaria em segundos. Logo: assumo \displaystyle T=0{,}05\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Converter unidades e escrever os dados em notação conveniente:
  • Amplitude A: 0{,}01\\ \mathrm{cm}. Converter para metros:
A = 0{,}01\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Fase inicial \phi_0: 0^\circ. Converter para radianos:
\phi_0 = 0^\circ = 0\\ \text{rad}.
  • Período (assumido):
T = 0{,}05\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a frequência em hertz f e a pulsação (frequência angular) \omega. Fórmulas básicas:
f=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.
Aplicando com T=0{,}05\\ \mathrm{s}:
f=\frac{1}{0{,}05}=20\\ \mathrm{Hz},
\omega=\frac{2\pi}{0{,}05}=40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 125{,}6637061\\ \mathrm{rad/s}.
Breve explicação: f conta quantas oscilações acontecem por segundo; \omega é a frequência em radianos por segundo (usa 2\pi porque uma oscilação corresponde a 2\pi radianos).

Passo 5

Escrever a equação do movimento do oscilador harmônico simples com fase inicial e amplitude dadas. A forma padrão (para deslocamento em função do tempo) é:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\phi_0\bigr).
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento em metros no instante t (positiva numa direção escolhida);
  • A é a amplitude máxima (metros);
  • \omega é a pulsação (rad/s);
  • \phi_0 é a fase inicial (radianos).
    Substituindo os valores:
x(t)=\bigl(1\times 10^{-4}\bigr)\cos\bigl(40\pi\,t\bigr)\quad\text{(em metros)}.
Como \phi_0=0, a função fica apenas com \cos(\omega t).

Passo 6

Derivar para obter velocidade e aceleração. Relembrando regras básicas de derivação:
  • A derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia).
  • A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'.
    Aplicando a derivada em x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\phi_0\bigr).
Derivando novamente para a aceleração:
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos\bigl(\omega t+\phi_0\bigr).
Substituindo A, \omega e \phi_0=0:
v(t)=-\bigl(1\times10^{-4}\bigr)\bigl(40\pi\bigr)\sin\bigl(40\pi\,t\bigr),
a(t)=-\bigl(1\times10^{-4}\bigr)\bigl(40\pi\bigr)^2\cos\bigl(40\pi\,t\bigr).
Podemos simplificar os coeficientes numéricos nas próximas etapas.

Passo 7

Calcular os valores máximos (módulos máximos):
  • Velocidade máxima (módulo): \displaystyle v_{\max}=A\omega.
  • Aceleração máxima (módulo): \displaystyle a_{\max}=A\omega^2.
    Calcule numericamente com A=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \omega=40\pi\\ \mathrm{rad/s}:
v_{\max}=1\times10^{-4}\times 40\pi = 4\pi\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Em forma decimal:
v_{\max}\approx 0{,}0125663706\\ \mathrm{m/s}.
Agora a_{\max}:
a_{\max}=1\times10^{-4}\times(40\pi)^2 = 1\times10^{-4}\times 1600\pi^2 = 0{,}16\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Em forma decimal:
a_{\max}\approx 1{,}5791367\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Resumo interpretativo e dica de prova (curta, amigável):
  • Use sempre converter amplitude para metros antes de calcular velocidades/acelerações porque as unidades importam muito.
  • Se vir “ 0{,}05\\ \mathrm{s}” escrito ao lado de “frequência”, cheque se não é o período; se houver ambiguidade, na prova comente a suposição (aqui, assumi T).
  • Para obter x, v, a num instante concreto t_0, basta substituir t=t_0 nas fórmulas que deduzimos. Por exemplo, em t=0: x(0)=A, v(0)=0, a(0)=-A\omega^2.

Resposta

T=0{,}05\\ \mathrm{s} (assumido como período)
f=20\\ \mathrm{Hz}
\omega=40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx125{,}6637061\\ \mathrm{rad/s}
x(t)=\bigl(1\times10^{-4}\bigr)\cos\bigl(40\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
v(t)=-\bigl(4\pi\times10^{-3}\bigr)\sin\bigl(40\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s}
a(t)=-\bigl(0{,}16\pi^2\bigr)\cos\bigl(40\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}
v_{\max}=4\pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}01256637\\ \mathrm{m/s}
a_{\max}=0{,}16\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx1{,}5791367\\ \mathrm{m/s^2}

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