- Um oscilador harmönico oscila com amplitude de movimento igual a
, com fase inicial de
, e frequência de oscilação igual a
. Obtenha:
Passo 1
O enunciado (literalmente) nos dá estas informações:
- Amplitude do movimento:
. - Fase inicial:
. - “Frequência de oscilação igual a
” (esta frase está ambígua — veja abaixo).
O enunciado termina em “Obtenha:” mas não especifica quais quantidades pedir. Portanto falta dizer explicitamente o que deve ser obtido. Como não foi pedido nada em específico, vou: - Anotar os dados claros;
- Explicar a ambiguidade sobre a grandeza dada em segundos;
- Assumir a interpretação mais razoável (e comumente usada neste tipo de exercício) e então calcular as grandes quantidades que normalmente se pedem para um oscilador harmônico simples: período, frequência (Hz), pulsação (
), equação do movimento , velocidade , aceleração , velocidade máxima e aceleração máxima .
Se a sua prova pedir alguma outra grandeza específica, essas fórmulas e resultados cobrem o que costuma ser exigido e você poderá extrair o que precisa.
Passo 2
Sobre a ambiguidade: o enunciado diz “frequência de oscilação igual a
”. Normalmente a frequência é dada em hertz (
) e o período é dado em segundos. Como o valor está em segundos, a interpretação correta e razoável é que esse valor seja o período
do movimento, i.e.
. Vou adotar essa interpretação. Se, por outro lado, o enunciado realmente quisesse a frequência numérica em hertz, o correto seria escrever
em
; mas aí o número dado não estaria em segundos. Logo: assumo
.
Passo 3
Converter unidades e escrever os dados em notação conveniente:
- Amplitude
: . Converter para metros:
- Fase inicial
: . Converter para radianos:
- Período (assumido):
Passo 4
Calcular a frequência em hertz
e a pulsação (frequência angular)
. Fórmulas básicas:
Aplicando com
:
Breve explicação:
conta quantas oscilações acontecem por segundo;
é a frequência em radianos por segundo (usa
porque uma oscilação corresponde a
radianos).
Passo 5
Escrever a equação do movimento do oscilador harmônico simples com fase inicial e amplitude dadas. A forma padrão (para deslocamento em função do tempo) é:
Aqui:
-
é o deslocamento em metros no instante (positiva numa direção escolhida); -
é a amplitude máxima (metros); -
é a pulsação (rad/s); -
é a fase inicial (radianos).
Substituindo os valores:
Como
, a função fica apenas com
.
Passo 6
Derivar para obter velocidade e aceleração. Relembrando regras básicas de derivação:
- A derivada de
em relação a é (regra da cadeia). - A derivada de
é .
Aplicando a derivada em:
Derivando novamente para a aceleração:
Substituindo
,
e
:
Podemos simplificar os coeficientes numéricos nas próximas etapas.
Passo 7
Calcular os valores máximos (módulos máximos):
- Velocidade máxima (módulo):
. - Aceleração máxima (módulo):
.
Calcule numericamente come :
Em forma decimal:
Agora
:
Em forma decimal:
Passo 8
Resumo interpretativo e dica de prova (curta, amigável):
- Use sempre converter amplitude para metros antes de calcular velocidades/acelerações porque as unidades importam muito.
- Se vir “
” escrito ao lado de “frequência”, cheque se não é o período; se houver ambiguidade, na prova comente a suposição (aqui, assumi ). - Para obter
, , num instante concreto , basta substituir nas fórmulas que deduzimos. Por exemplo, em : , , .