Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
onde
.
Verifique que essa função de onda está normalizada, ou seja, mostre que
.
Verifique que essa função de onda está normalizada, ou seja, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico quântico:
onde
. Precisamos verificar se essa função está normalizada, ou seja, mostrar que:
Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de onda normalizadas e integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda
. Isso significa multiplicar
por seu conjugado:
Aqui, simplificamos o expoente multiplicando os fatores e elevando ao quadrado.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral de
de
a
:
Essa integral é uma forma conhecida de uma integral gaussiana, que tem uma solução específica.
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função gaussiana é:
No nosso caso,
. Portanto:
Passo 5
Substituindo o valor da integral na expressão anterior:
Resposta
A função de onda está normalizada, ou seja,
.