Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
psi(x)=(alphapi)^1 / 4 e^-12 alpha x^2
onde alpha=m omegahbar.
Verifique que essa função de onda está normalizada, ou seja, mostre que integral-infty^infty|psi(x)|^2 d x=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico quântico:
psi(x)=(alphapi)^1 / 4 e^-12 alpha x^2
onde alpha=m omegahbar. Precisamos verificar se essa função está normalizada, ou seja, mostrar que:
integral-infty^infty|psi(x)|^2 dx = 1
Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de onda normalizadas e integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda psi(x). Isso significa multiplicar psi(x) por seu conjugado:
|psi(x)|^2 = (alphapi)^1 / 2 e^-alpha x^2
Aqui, simplificamos o expoente multiplicando os fatores e elevando ao quadrado.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral de |psi(x)|^2 de -infty a +infty:
integral-infty^infty|psi(x)|^2 dx = (alphapi)^1 / 2 integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx
Essa integral é uma forma conhecida de uma integral gaussiana, que tem uma solução específica.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função gaussiana é:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
No nosso caso, a = alpha. Portanto:
integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx = raizpialpha

Passo 5

Substituindo o valor da integral na expressão anterior:
integral-infty^infty|psi(x)|^2 dx = (alphapi)^1 / 2 times raizpialpha = (alphapi)^1 / 2 times (pialpha)^1 / 2 = 1

Resposta

A função de onda está normalizada, ou seja, integral-infty^infty|psi(x)|^2 dx = 1.

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