Considere uma partícula de massa
em um oscilador harmônico simples com frequência angular
. A energia total do sistema é dada por:
Explique por que, na mecânica clássica, a partícula não pode ser encontrada em
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica Clássica que envolve um oscilador harmônico simples. Temos uma partícula de massa $ m $ oscilando com frequência angular $ \omega $, e a energia total do sistema é dada por:
Nosso objetivo é entender por que, nessa abordagem clássica, a partícula não pode ser encontrada em posições onde $ |x| > x_{máx} $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que a equação da energia total está nos dizendo. Ela é a soma da energia cinética ($ \frac{1}{2} m v^{2}
\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $).
Passo 3
Em um oscilador harmônico simples, a energia total $ E $ é constante. Isso significa que, quando a partícula está em sua posição máxima ($ x_{máx} $), toda a energia está na forma de energia potencial, pois a velocidade $ v $ é zero nesse ponto. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos considerar o que acontece se a partícula tentasse estar em uma posição onde $ |x| > x_{máx} $. Substituindo esse valor na equação da energia total:
Se $ |x| > x_{max} $, então $ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} > E $.
Passo 5
Isso implicaria que:
Mas a energia cinética $ \frac{1}{2} m v^{2} $ não pode ser negativa, já que é proporcional ao quadrado da velocidade.
Passo 6
Portanto, não existe uma solução física real para a velocidade quando $ |x| > x_{máx} $. Isso significa que, dentro da mecânica clássica, a partícula não pode ultrapassar a posição $ x_{máx} $, pois isso exigiria uma energia cinética negativa, o que não é possível.
Resposta
Na mecânica clássica, a partícula em um oscilador harmônico simples não pode ser encontrada em $ |x| > x_{máx} $ porque isso implicaria em uma energia cinética negativa, o que é fisicamente impossível.