Considere uma partícula de massa m em um oscilador harmônico simples com frequência angular omega. A energia total do sistema é dada por:
E=12 m v^2+12 m omega^2 x^2
Explique por que, na mecânica clássica, a partícula não pode ser encontrada em |x|>x máx á.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica Clássica que envolve um oscilador harmônico simples. Temos uma partícula de massa $ m $ oscilando com frequência angular $ \omega $, e a energia total do sistema é dada por:
m
Nosso objetivo é entender por que, nessa abordagem clássica, a partícula não pode ser encontrada em posições onde $ |x| > x_{máx} $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que a equação da energia total está nos dizendo. Ela é a soma da energia cinética ($ \frac{1}{2} m v^{2} 12 m v^2 á \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $).

Passo 3

Em um oscilador harmônico simples, a energia total $ E $ é constante. Isso significa que, quando a partícula está em sua posição máxima ($ x_{máx} $), toda a energia está na forma de energia potencial, pois a velocidade $ v $ é zero nesse ponto. Portanto:
E á

Passo 4

Agora, vamos considerar o que acontece se a partícula tentasse estar em uma posição onde $ |x| > x_{máx} $. Substituindo esse valor na equação da energia total:
|x| > xmáx
Se $ |x| > x_{max} $, então $ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} > E $.

Passo 5

Isso implicaria que:
12 m v^2 = E - 12 m omega^2 x^2 < 0
Mas a energia cinética $ \frac{1}{2} m v^{2} $ não pode ser negativa, já que é proporcional ao quadrado da velocidade.

Passo 6

Portanto, não existe uma solução física real para a velocidade quando $ |x| > x_{máx} $. Isso significa que, dentro da mecânica clássica, a partícula não pode ultrapassar a posição $ x_{máx} $, pois isso exigiria uma energia cinética negativa, o que não é possível.

Resposta

Na mecânica clássica, a partícula em um oscilador harmônico simples não pode ser encontrada em $ |x| > x_{máx} $ porque isso implicaria em uma energia cinética negativa, o que é fisicamente impossível.

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