Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
psi(x)=(alphapi)^1 / 4 e^-12 alpha x^2
onde alpha=m omegahbar.
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região -x máx <= x <=á x máx á integrando |psi(x)|^2 :
P(-xmáx <= x <= x máx )=integral-xmax ^xmax |psi(x)|^2 d x á

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico quântico. A gente tem a função de onda do estado fundamental, que é uma espécie de “descrição” de onde a partícula pode estar. A tarefa aqui é calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região específica, de -xmáxá até xmáxá. Para isso, vamos integrar o quadrado da função de onda |psi(x)|^2 nesse intervalo. Vamos precisar entender como funciona a integração de funções exponenciais e algumas propriedades fundamentais da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular |psi(x)|^2. A função de onda é dada por:
psi(x)=(alphapi)^1 / 4 e^-12 alpha x^2
Para encontrar |psi(x)|^2, simplesmente elevamos ao quadrado:
|psi(x)|^2 = (alphapi)^1/2 e^-alpha x^2

Passo 3

Agora, vamos montar a integral que representa a probabilidade:
P(-xmáx <= x <= xmáx) = integral-xmáx^xmáx |psi(x)|^2 dx = (alphapi)^1/2 integral-xmáx^xmáx e^-alpha x^2 dx áááááá

Passo 4

A integral de e^-alpha x^2 é uma integral de Gauss, que está relacionada à função erro (erf). Sabemos que:
integral-a^a e^-k x^2 dx = raizpik , erf(a raizk)
Onde erf é a função erro, uma função matemática que aparece frequentemente em problemas envolvendo distribuições normais.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa integral, onde k = alpha, temos:
integral-xmáx^xmáx e^-alpha x^2 dx = raizpialpha , erf(xmáx raizalpha) ááá

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P = (alphapi)^1/2 times raizpialpha , erf(xmáx raizalpha) = erf(xmáx raizalpha) áá
Isso ocorre porque os termos (alphapi)^1/2 e raizpialpha se cancelam.

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região -xmáx <= x <= xmáxáá é dada por:
P = erf(xmáx raizalpha) á
Onde erf é a função erro.

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