Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
onde
.
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região
integrando
:
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico quântico. A gente tem a função de onda do estado fundamental, que é uma espécie de “descrição” de onde a partícula pode estar. A tarefa aqui é calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região específica, de
até
. Para isso, vamos integrar o quadrado da função de onda
nesse intervalo. Vamos precisar entender como funciona a integração de funções exponenciais e algumas propriedades fundamentais da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. A função de onda é dada por:
Para encontrar
, simplesmente elevamos ao quadrado:
Passo 3
Agora, vamos montar a integral que representa a probabilidade:
Passo 4
A integral de
é uma integral de Gauss, que está relacionada à função erro (erf). Sabemos que:
Onde
é a função erro, uma função matemática que aparece frequentemente em problemas envolvendo distribuições normais.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa integral, onde
, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
Isso ocorre porque os termos
e
se cancelam.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região
é dada por:
Onde
é a função erro.