Considere uma partícula de massa
em um oscilador harmônico simples com frequência angular
. A energia total do sistema é dada por:
Mostre que os pontos de retorno ocorrem quando
. Os pontos de retorno acontecem nos pontos onde
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma partícula de massa $ m $ presa em um oscilador harmônico simples com frequência angular $ \omega $. A energia total do sistema é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios, além da conservação da energia. Precisamos mostrar que os pontos de retorno (onde a partícula muda de direção) ocorrem quando a velocidade $ v = 0 $ e que nesses pontos, a posição $ x $ é igual a $ \pm x_{máx} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia total $ E $ no sistema é a soma da energia cinética $ \frac{1}{2} m v^{2} $ e da energia potencial elástica $ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Em um oscilador harmônico simples, essa energia total é constante ao longo do tempo, ou seja, ela é conservada.
Passo 3
Nos pontos de retorno, a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção. Quando a partícula está parando, sua velocidade $ v = 0 $. Isso significa que, nesses pontos, toda a energia do sistema está na forma de energia potencial elástica.
Passo 4
Vamos substituir $ v = 0 $ na equação da energia total:
Como a energia total $ E $ também pode ser expressa em termos da posição máxima $ x_{máx} $, temos:
Passo 5
Igualando as duas expressões para $ E $:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ \frac{1}{2} m \omega^{2} $:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Resposta
Os pontos de retorno ocorrem quando a velocidade $ v = 0 $ e a posição da partícula é $ x = \pm x_{máx} $.