Considere uma partícula de massa m em um oscilador harmônico simples com frequência angular omega. A energia total do sistema é dada por:
E=12 m v^2+12 m omega^2 x^2
Mostre que os pontos de retorno ocorrem quando v=0. Os pontos de retorno acontecem nos pontos onde x= pm x máx á.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma partícula de massa $ m $ presa em um oscilador harmônico simples com frequência angular $ \omega $. A energia total do sistema é dada por:
m
O conteúdo que vamos usar aqui envolve energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios, além da conservação da energia. Precisamos mostrar que os pontos de retorno (onde a partícula muda de direção) ocorrem quando a velocidade $ v = 0 $ e que nesses pontos, a posição $ x $ é igual a $ \pm x_{máx} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia total $ E $ no sistema é a soma da energia cinética $ \frac{1}{2} m v^{2} $ e da energia potencial elástica $ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Em um oscilador harmônico simples, essa energia total é constante ao longo do tempo, ou seja, ela é conservada.

Passo 3

Nos pontos de retorno, a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção. Quando a partícula está parando, sua velocidade $ v = 0 $. Isso significa que, nesses pontos, toda a energia do sistema está na forma de energia potencial elástica.

Passo 4

Vamos substituir $ v = 0 $ na equação da energia total:
v = 0
Como a energia total $ E $ também pode ser expressa em termos da posição máxima $ x_{máx} $, temos:
E = 12 m (0)^2 + 12 m omega^2 x^2 E = 12 m omega^2 x^2 á

Passo 5

Igualando as duas expressões para $ E $:
E á
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ \frac{1}{2} m \omega^{2} $:
12 m omega^2 x^2 = 12 m omega^2 xmáx^2 á
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
12 m omega^2 á

Resposta

Os pontos de retorno ocorrem quando a velocidade $ v = 0 $ e a posição da partícula é $ x = \pm x_{máx} $.

Exercícios relacionados