Em um oscilador harmônico simples, um corpo de massa 350 gramas, oscila preso a uma mola de constante de
. No instante
, o corpo é deslocado para a posição
e dada uma yelocidade inicial, de modo que a constante de fase vale
radianos. Determine: a) a frequência angular e o período; b) a amplitude do movimento e a velocidade inicial; c) a posição e a velocidade para o instante 15,0 segundos; d) a energia mecânica do sistema.
Passo 1
Dados fornecidos e perguntas pedidas:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - No instante
: deslocamento . - Constante de fase (no enunciado):
. - O enunciado pede:
a) a frequência angulare o período ;
b) a amplitudedo movimento e a velocidade inicial ;
c) a posiçãoe a velocidade ;
d) a energia mecânica totaldo sistema.
Passo 2
Relembrando a forma geral do movimento do oscilador harmônico simples (isso é importante para aplicar na prova): para um oscilador linear sem amortecimento e sem força externa, a posição no tempo é dada por
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros); -
é a frequência angular (em ); -
é a fase inicial (em radianos).
A velocidade é a derivada temporal de, portanto
Estas fórmulas são básicas: a função é cosseno porque descreve um movimento periódico com simetria, e a derivada do cosseno é menos seno, daí o sinal em
.
Passo 3
Como calcular a frequência angular
: para mola+massa sem amortecimento,
Aqui
é a constante da mola (em
) e
a massa (em
). Substituindo os valores:
Agora calculamos numericamente:
(Arredondei para três algarismos significativos; na prova você pode manter mais casas se necessário.)
Passo 4
Período
: relação entre
e
é
pois uma volta completa em radianos é
. Substituindo
:
Interpretação prática: o sistema completa uma oscilação em cerca de
.
Passo 5
Como obter a amplitude
a partir dos dados iniciais: em
temos
. Logo
Aqui
e
. Observe que
(cosseno é par). Calculamos:
então
Comentário didático: se
fosse muito pequeno (próximo de zero) isso indicaria que
seria muito maior que
; aqui
tem valor moderado, então
fica de ordem de
multiplicado por um fator ~1,67.
Passo 6
Velocidade inicial
: usar a expressão geral da velocidade em
,
Explicando cada termo:
vem da derivada do cosseno;
é a amplitude;
transforma a dimensão temporal corretamente;
é o valor do seno da fase inicial. Substituindo os valores já conhecidos:
Logo
Calculando:
Interpretação: o sinal positivo indica que, no instante zero, o corpo está com velocidade apontando na direção positiva do eixo escolhido.
Passo 7
Posição em
: usamos
Substituindo
,
Como cosseno é periódico com período
, reduzimos o ângulo módulo
para facilitar a avaliação numérica:
; notamos que
é praticamente
voltas menos um pequeno ângulo, mais precisamente
portanto
Assim
Dica útil para prova: reduzir o argumento módulo
evita trabalhar com ângulos enormes e facilita o uso de tabelas/calculadora.
Passo 8
Velocidade em
: usamos
Já temos o ângulo reduzido
. Então
Substituindo:
Calculando:
Interpretação: novamente velocidade positiva neste instante; note que o valor é menor que a velocidade inicial, pois depende do seno do ângulo no instante considerado.
Passo 9
Energia mecânica total
: para um oscilador harmônico sem atrito a energia total é constante e pode ser calculada pela energia potencial máxima na amplitude (ou pela energia cinética máxima). Fórmula simples:
Aqui
e
. Substituindo:
Calculando:
Comentário prático: a energia é pequena porque a amplitude é pequena (centímetros) e a massa é moderada.
Resposta
(a)
,
(b) ,
(c) ,
(d)
(b)
(c)
(d)