Em um oscilador harmônico simples, um corpo de massa 350 gramas, oscila preso a uma mola de constante de 80 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. No instante \mathrm{t}=0, o corpo é deslocado para a posição 1,5 \mathrm{~cm} e dada uma yelocidade inicial, de modo que a constante de fase vale -0,927 radianos. Determine: a) a frequência angular e o período; b) a amplitude do movimento e a velocidade inicial; c) a posição e a velocidade para o instante 15,0 segundos; d) a energia mecânica do sistema.

Passo 1

Dados fornecidos e perguntas pedidas:
  • Massa: m=350\\ \mathrm{g} = 0,350\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=80\\ \mathrm{N/m}.
  • No instante t=0: deslocamento x(0)=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Constante de fase (no enunciado): \varphi=-0,927\\ \mathrm{rad}.
  • O enunciado pede:
    a) a frequência angular \omega e o período T;
    b) a amplitude A do movimento e a velocidade inicial v(0);
    c) a posição x(15,0\\ \mathrm{s}) e a velocidade v(15,0\\ \mathrm{s});
    d) a energia mecânica total E do sistema.

Passo 2

Relembrando a forma geral do movimento do oscilador harmônico simples (isso é importante para aplicar na prova): para um oscilador linear sem amortecimento e sem força externa, a posição no tempo é dada por
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros);
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
    A velocidade é a derivada temporal de x(t), portanto
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Estas fórmulas são básicas: a função é cosseno porque descreve um movimento periódico com simetria, e a derivada do cosseno é menos seno, daí o sinal em v(t).

Passo 3

Como calcular a frequência angular \omega: para mola+massa sem amortecimento,
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}) e m a massa (em \mathrm{kg}). Substituindo os valores:
\omega=\sqrt{\frac{80}{0,350}}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora calculamos numericamente:
\omega\approx 15,12\\ \mathrm{rad/s}.
(Arredondei para três algarismos significativos; na prova você pode manter mais casas se necessário.)

Passo 4

Período T: relação entre \omega e T é
T=\frac{2\pi}{\omega},
pois uma volta completa em radianos é 2\pi. Substituindo \omega:
T=\frac{2\pi}{15,12}\\ \mathrm{s}\approx 0,416\\ \mathrm{s}.
Interpretação prática: o sistema completa uma oscilação em cerca de 0,416\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Como obter a amplitude A a partir dos dados iniciais: em t=0 temos x(0)=A\cos\varphi. Logo
A=\frac{x(0)}{\cos\varphi}.
Aqui x(0)=0,015\\ \mathrm{m} e \varphi=-0,927\\ \mathrm{rad}. Observe que \cos(-0,927)=\cos(0,927) (cosseno é par). Calculamos:
\cos(-0,927)\approx 0,599,
então
A=\frac{0,015}{0,599}\\ \mathrm{m}\approx 0,0250\\ \mathrm{m}=2,50\\ \mathrm{cm}.
Comentário didático: se \cos\varphi fosse muito pequeno (próximo de zero) isso indicaria que A seria muito maior que x(0); aqui \cos\varphi tem valor moderado, então A fica de ordem de x(0) multiplicado por um fator ~1,67.

Passo 6

Velocidade inicial v(0): usar a expressão geral da velocidade em t=0,
v(0)=-A\omega\sin\varphi.
Explicando cada termo: - vem da derivada do cosseno; A é a amplitude; \omega transforma a dimensão temporal corretamente; \sin\varphi é o valor do seno da fase inicial. Substituindo os valores já conhecidos:
\sin(-0,927)=-\sin(0,927)\approx -0,799.
Logo
v(0)=-A\omega\sin\varphi = -\bigl(0,0250\bigr)\bigl(15,12\bigr)\bigl(-0,799\bigr).
Calculando:
v(0)\approx +0,302\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal positivo indica que, no instante zero, o corpo está com velocidade apontando na direção positiva do eixo escolhido.

Passo 7

Posição em t=15{,}0\\ \mathrm{s}: usamos
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo t=15{,}0\\ \mathrm{s},
\theta=\omega t+\varphi=(15,12)(15,0)+(-0,927)\\ \mathrm{rad}\approx 225,858\\ \mathrm{rad}.
Como cosseno é periódico com período 2\pi, reduzimos o ângulo módulo 2\pi para facilitar a avaliação numérica: 2\pi\approx 6,2832; notamos que 225,858\\ \mathrm{rad} é praticamente 36 voltas menos um pequeno ângulo, mais precisamente
225,858 \approx 36\cdot 2\pi - 0,3367,
portanto
\cos(225,858)=\cos(-0,3367)=\cos(0,3367)\approx 0,943.
Assim
x(15{,}0)\approx 0,0250\cdot 0,943\\ \mathrm{m}\approx 0,0236\\ \mathrm{m}=2,36\\ \mathrm{cm}.
Dica útil para prova: reduzir o argumento módulo 2\pi evita trabalhar com ângulos enormes e facilita o uso de tabelas/calculadora.

Passo 8

Velocidade em t=15{,}0\\ \mathrm{s}: usamos
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Já temos o ângulo reduzido \omega t+\varphi \equiv -0,3367\\ \mathrm{rad}. Então
\sin(-0,3367)=-\sin(0,3367)\approx -0,3305.
Substituindo:
v(15{,}0)=-\bigl(0,0250\bigr)\bigl(15,12\bigr)\bigl(-0,3305\bigr).
Calculando:
v(15{,}0)\approx +0,125\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: novamente velocidade positiva neste instante; note que o valor é menor que a velocidade inicial, pois depende do seno do ângulo no instante considerado.

Passo 9

Energia mecânica total E: para um oscilador harmônico sem atrito a energia total é constante e pode ser calculada pela energia potencial máxima na amplitude (ou pela energia cinética máxima). Fórmula simples:
E=\frac{1}{2}kA^{2}.
Aqui k=80\\ \mathrm{N/m} e A\approx 0,0250\\ \mathrm{m}. Substituindo:
E=\tfrac{1}{2}\cdot 80\cdot(0,0250)^{2}\\ \mathrm{J}.
Calculando:
E\approx 0,0251\\ \mathrm{J}.
Comentário prático: a energia é pequena porque a amplitude é pequena (centímetros) e a massa é moderada.

Resposta

(a) \omega\approx 15,12\\ \mathrm{rad/s}, T\approx 0,416\\ \mathrm{s}
(b) A\approx 0,0250\\ \mathrm{m}=2,50\\ \mathrm{cm}, v(0)\approx 0,302\\ \mathrm{m/s}
(c) x(15{,}0\\ \mathrm{s})\approx 0,0236\\ \mathrm{m}=2,36\\ \mathrm{cm}, v(15{,}0\\ \mathrm{s})\approx 0,125\\ \mathrm{m/s}
(d) E\approx 0,0251\\ \mathrm{J}

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