Um cubo de aço cuja densidade é de 8,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} está pendurado em um suporte através de um fio e fica mergulhado (submerso) na água, estando a face superior a uma profundidade de 50 cm . Sendo a massa da amostra de 800 g , determine: a) a força de empuxo que atua sobre a amostra; b) a tensão no fio; c) a pressão na profundidade de 50 cm . Dado que a densidade da água é 1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados que vamos listar com clareza:
  • Perguntas:
    1. a) Determinar a força de empuxo que atua sobre a amostra.
    2. b) Determinar a tensão no fio que sustenta a amostra.
    3. c) Determinar a pressão na profundidade de 50\\ \mathrm{cm}.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da amostra: m=800\\ \mathrm{g}.
    • Densidade do aço (amostra): \rho_{\text{aço}}=8{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}ç.
    • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}á.
    • A face superior do cubo está a uma profundidade de 50\\ \mathrm{cm} (o cubo está totalmente submerso).
    • Vou usar a aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor usual em exercícios).
Observação: todos os cálculos numéricos com constantes físicas serão feitos no SI (quilograma, metro, Pascal, Newton). As conversões entre unidades serão mostradas.

Passo 2

Primeiro passo prático: achar o volume da amostra. A relação entre massa, densidade e volume é
V=\frac{m}{\rho}.
Aqui V é o volume, m a massa e \rho a densidade. Essa fórmula vem da definição de densidade: \rho=\dfrac{m}{V}, isolando V obtemos a relação acima.
Aplicando com os valores em unidades homogêneas (vamos inicialmente usar as unidades em \mathrm{g} e \mathrm{cm^{3}}, que são compatíveis):
V=\frac{800\\ \mathrm{g}}{8{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}}=100\\ \mathrm{cm^{3}}.
Interpretação: o cubo ocupa 100\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Converter o volume para o SI (metros cúbicos), porque a fórmula do empuxo e da pressão normalmente usamos \mathrm{kg/m^{3}}, \mathrm{m} e \mathrm{s}:
1\\ \mathrm{cm^{3}}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}},
portanto
V=100\\ \mathrm{cm^{3}}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
Também convertemos a massa para quilogramas:
m=800\\ \mathrm{g}=0{,}800\\ \mathrm{kg}.
E a densidade da água para o SI:
\rho_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á

Passo 4

Calcular a força de empuxo. Conceito rápido (aula curta): pelo princípio de Arquimedes, o empuxo E sobre um corpo totalmente submerso é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
E=\rho_{\text{fluido}}\;V_{\text{deslocado}}\;g.
Aqui \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (água), V_{\text{deslocado}} é o volume do fluido deslocado (igual ao volume do corpo se está totalmente submerso) e g é a aceleração da gravidade.
Como o cubo está totalmente submerso, V_{\text{deslocado}}=V. Substituindo os valores no SI:
E=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora fazemos a multiplicação:
E=1000\times 1{,}0\times10^{-4}\times 9{,}8=0{,}98\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: a água “empurra” o cubo para cima com uma força de 0{,}98\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o peso da amostra (força peso), que é necessário para achar a tensão no fio. A fórmula do peso é
P=mg,
onde m em kg e g em \mathrm{m/s^{2}}.
Substituindo:
P=0{,}800\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}=7{,}84\\ \mathrm{N}.
Interpretação: sem água, o fio suportaria 7{,}84\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Equilíbrio de forças para achar a tensão no fio. Desenhando forças na vertical: para o cubo em repouso temos para cima E (empuxo) e T (tensão no fio), para baixo P (peso). A soma das forças deve ser zero:
\sum F_{y}=0 \quad\Rightarrow\quad E+T-P=0.
Isolando T:
T=P-E.
Já calculamos P=7{,}84\\ \mathrm{N} e E=0{,}98\\ \mathrm{N}. Portanto
T=7{,}84-0{,}98=6{,}86\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a água reduz a intensidade que o fio precisa segurar; a tensão é 6{,}86\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a pressão na profundidade de 50\\ \mathrm{cm}. Conceito: a pressão hidrostática em uma profundidade h (medida abaixo da superfície livre) é dada por
p=\rho_{\text{água}}\;g\;h,á
onde p é a pressão adicional devido à coluna de água (pressão gauge). Aqui h=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Substituindo os valores no SI:
p=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 0{,}50\\ \mathrm{m}=4900\\ \mathrm{Pa}.
Podemos escrever isso também como 4{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} ou 4{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Observação sobre pressão absoluta: se o enunciado pedir pressão absoluta (incluindo a pressão atmosférica na superfície), então somamos a pressão atmosférica padrão p_{\text{atm}}\approx1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
p_{\text{abs}}=p_{\text{atm}}+p\approx1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}+4{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Mas normalmente, em exercícios assim, pede-se a pressão hidrostática (a adicional) — eu dei os dois para ficar completo.

Resposta

a) E=0{,}98\\ \mathrm{N}\n
b) T=6{,}86\\ \mathrm{N}\n
c) p=\rho g h=4{,}900\\ \mathrm{Pa}=4{,}9\\ \mathrm{kPa} (pressão hidrostática).

Exercícios relacionados