Um balão esférico ( V=4 \pi r^{3} / 3 ), de massa 96 kg é amarrado a uma árvore e então enchido com gás hélio até que seu volume seja de 125 \mathrm{~m}^{3}. Sendo a densidade do ar de 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a do hélio de 0,18 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine: a) a força de empuxo que atua sobre o balão; b) a tensão na corda que prende o balão (sem carga); c) a carga adicional que o balão pode suportar em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá um balão esférico amarrado e preenchido com hélio, e pede três coisas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
V=125\\ \mathrm{m}^3
m_{\text{balão}}=96\\ \mathrm{kg}ã
\rho_{\text{ar}}=1,21\\ \mathrm{kg/m}^3
\rho_{\text{He}}=0,18\\ \mathrm{kg/m}^3
A pergunta solicita:
a) a força de empuxo que atua sobre o balão;
b) a tensão na corda que prende o balão (quando não há carga adicional);
c) a carga adicional (massa) que o balão pode suportar em equilíbrio.
Observação: vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s}^2 para a aceleração da gravidade (valor padrão). Não preciso do raio porque o volume V já foi dado.

Passo 2

Princípio físico usado (aulas rápidas): o empuxo é dado pelo Princípio de Arquimedes — a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Em fórmula:
E=\rho_{\text{ar}}\,V\,g
onde \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m}^3), V é o volume deslocado (em \mathrm{m}^3) e g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s}^2). Substituindo os valores:
E=1,21\cdot 125\cdot 9,8.
Faço as contas passo a passo: 1,21\cdot 125=151,25 (kg de ar deslocado em massa equivalente). Multiplicando por g:
E=151,25\cdot 9,8=1482,25\\ \mathrm{N}.
Portanto o empuxo é \,1482,25\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Agora calculo os pesos que atuam para baixo: o peso do próprio balão (estrutura) e o peso do hélio que está dentro.
A massa do hélio é:
m_{\text{He}}=\rho_{\text{He}}\,V=0,18\cdot 125=22,5\\ \mathrm{kg}.
Os pesos (forças peso) são W=m\,g. Então:
W_{\text{balão}}=m_{\text{balão}}\,g=96\cdot 9,8=940,8\\ \mathrm{N},ãã
W_{\text{He}}=m_{\text{He}}\,g=22,5\cdot 9,8=220,5\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Equilíbrio vertical com a corda presa (diagrama mental): para o balão preso em repouso a soma das forças verticais é zero. Tomando para cima positivo, temos empuxo para cima e pesos e tensão para baixo (a corda exerce sobre o balão uma força para baixo quando impede que ele suba). A equação do equilíbrio é:
E - W_{\text{balão}} - W_{\text{He}} - T = 0,ã
onde T é a tensão (positivo quando a corda puxa para baixo no balão). Isolando T:
T = E - W_{\text{balão}} - W_{\text{He}}.ã
Substituo os valores calculados:
T=1482,25 - 940,8 - 220,5.
Faço as somas/parciais: 940,8+220,5=1161,3. Então
T=1482,25-1161,3=320,95\\ \mathrm{N}.
Conclusão: a tensão na corda (sem carga adicional) é \,320,95\\ \mathrm{N}. Como conferência mental: T>0 significa que o empuxo supera os pesos e a corda precisa segurar o balão para que ele não suba — faz sentido.

Passo 5

Qual a carga adicional máxima que o balão pode suportar em equilíbrio? Interpretação: é a massa adicional m_{\text{ad}} que podemos pendurar ao balão de modo que o conjunto fique em equilíbrio (nem sobe nem desce). Para isso o peso adicional m_{\text{ad}}g somaria aos outros pesos, e a condição de equilíbrio seria:
E - W_{\text{balão}} - W_{\text{He}} - m_{\text{ad}}g = 0.ã
Isolando m_{\text{ad}}:
m_{\text{ad}}=\frac{E - W_{\text{balão}} - W_{\text{He}}}{g}=\frac{T}{g}.ã
Já calculei T, então:
m_{\text{ad}}=\frac{320,95}{9,8}=32,75\\ \mathrm{kg}.
Portanto o balão pode suportar, em equilíbrio, uma carga adicional de 32,75\\ \mathrm{kg} (aprox. 32,8\\ \mathrm{kg}).

Resposta

a) 1482,25\\ \mathrm{N}
b) 320,95\\ \mathrm{N}
c) 32,75\\ \mathrm{kg}

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