Um balão esférico (
), de massa 96 kg é amarrado a uma árvore e então enchido com gás hélio até que seu volume seja de
. Sendo a densidade do ar de
e a do hélio de
, determine: a) a força de empuxo que atua sobre o balão; b) a tensão na corda que prende o balão (sem carga); c) a carga adicional que o balão pode suportar em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá um balão esférico amarrado e preenchido com hélio, e pede três coisas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
A pergunta solicita:
a) a força de empuxo que atua sobre o balão;
b) a tensão na corda que prende o balão (quando não há carga adicional);
c) a carga adicional (massa) que o balão pode suportar em equilíbrio.
a) a força de empuxo que atua sobre o balão;
b) a tensão na corda que prende o balão (quando não há carga adicional);
c) a carga adicional (massa) que o balão pode suportar em equilíbrio.
Observação: vou usar
para a aceleração da gravidade (valor padrão). Não preciso do raio porque o volume
já foi dado.
Passo 2
Princípio físico usado (aulas rápidas): o empuxo é dado pelo Princípio de Arquimedes — a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Em fórmula:
onde
é a densidade do ar (em
),
é o volume deslocado (em
) e
é a aceleração da gravidade (em
). Substituindo os valores:
Faço as contas passo a passo:
(kg de ar deslocado em massa equivalente). Multiplicando por
:
Portanto o empuxo é
.
Passo 3
Agora calculo os pesos que atuam para baixo: o peso do próprio balão (estrutura) e o peso do hélio que está dentro.
A massa do hélio é:
Os pesos (forças peso) são
. Então:
Passo 4
Equilíbrio vertical com a corda presa (diagrama mental): para o balão preso em repouso a soma das forças verticais é zero. Tomando para cima positivo, temos empuxo para cima e pesos e tensão para baixo (a corda exerce sobre o balão uma força para baixo quando impede que ele suba). A equação do equilíbrio é:
onde
é a tensão (positivo quando a corda puxa para baixo no balão). Isolando
:
Substituo os valores calculados:
Faço as somas/parciais:
. Então
Conclusão: a tensão na corda (sem carga adicional) é
. Como conferência mental:
significa que o empuxo supera os pesos e a corda precisa segurar o balão para que ele não suba — faz sentido.
Passo 5
Qual a carga adicional máxima que o balão pode suportar em equilíbrio? Interpretação: é a massa adicional
que podemos pendurar ao balão de modo que o conjunto fique em equilíbrio (nem sobe nem desce). Para isso o peso adicional
somaria aos outros pesos, e a condição de equilíbrio seria:
Isolando
:
Já calculei
, então:
Portanto o balão pode suportar, em equilíbrio, uma carga adicional de
(aprox.
).
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)