Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa \mathbf{2 , 0 ~ K g} preso a uma mola de constante elástica 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Em t =1,0 \mathrm{~s}, a posição e a velocidade do bloco são \mathbf{x}_{1}=\mathbf{0 , 1 3 6 ~ m} e \mathbf{v}_{1}=\mathbf{3 , 4 ~ m} / \mathbf{s}. Nessas condições, determine: (a) os valores da constante de fase \varphi e da amplitude do oscilador \mathbf{x}_{\mathbf{m}} ? (b) a posição e a velocidade do bloco em \mathbf{t}=\mathbf{0} \boldsymbol{s} ? e (c) a energia mecânica do oscilador? (\mathbf{4}, \mathbf{0})

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico simples com massa 2,0\\ \mathrm{kg} e constante elástica 100\\ \mathrm{N/m}. Em t=1,0\\ \mathrm{s} a posição é x_{1}=0,136\\ \mathrm{m} e a velocidade é v_{1}=3,4\\ \mathrm{m/s}.
As perguntas são:
(a) determinar a constante de fase \varphi e a amplitude x_{m};
(b) determinar a posição x(0) e a velocidade v(0) no instante t=0;
(c) determinar a energia mecânica do oscilador.
Informações relevantes listadas:
  • m=2,0\\ \mathrm{kg}
  • k=100\\ \mathrm{N/m}
  • Em t_{1}=1,0\\ \mathrm{s}: x(t_{1})=x_{1}=0,136\\ \mathrm{m} e v(t_{1})=v_{1}=3,4\\ \mathrm{m/s}

Passo 2

Vou escrever as equações gerais do movimento harmônico simples e explicar cada símbolo.
A solução para a posição é
x(t)=x_{m}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde
  • x(t) é a posição no tempo t,
  • x_{m} é a amplitude (o máximo deslocamento),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a constante de fase (em rad).
A velocidade é a derivada de x(t):
v(t)=-\omega x_{m}\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
A frequência angular \omega vem da mola e da massa:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo k e m:
\omega=\sqrt{\frac{100}{2,0}}=\sqrt{50}\approx 7,07107\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora uso os valores em t_{1}=1,0\\ \mathrm{s}. Defino \theta=\omega t_{1}+\varphi para simplificar. Então temos o sistema
x_{1}=x_{m}\cos\theta,
v_{1}=-\omega x_{m}\sin\theta.
Explicando: \theta é o argumento do cosseno/seno no instante t_{1}. Essas duas equações relacionam x_{m} e \theta com os dados x_{1} e v_{1}.

Passo 4

Encontro a amplitude x_{m} combinando as duas equações (somando quadrados), porque \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
x_{1}^{2}+\Bigl(\frac{v_{1}}{\omega}\Bigr)^{2}=x_{m}^{2}.
Explico: da primeira equação \cos\theta=x_{1}/x_{m}, da segunda \sin\theta=-v_{1}/(\omega x_{m}). Somando os quadrados elimina \theta e dá x_{m}^{2}.
Agora calculo numericamente. Primeiro v_{1}/\omega:
\frac{v_{1}}{\omega}=\frac{3,4}{7,07107}\approx 0,48079\\ \mathrm{m}.
Então
x_{m}=\sqrt{(0,136)^{2}+(0,48079)^{2}}=\sqrt{0,018496+0,231154}\approx\sqrt{0,249650}\approx 0,49965\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
x_{m}\approx 0,500\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora determino a fase \varphi. Primeiro encontro \theta a partir de x_{1} e v_{1}. Usando as duas equações, a tangente é
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{-\,v_{1}/(\omega x_{m})}{x_{1}/x_{m}}=-\frac{v_{1}}{\omega x_{1}}.
Substituindo os números:
\tan\theta=-\frac{3,4}{7,07107\cdot 0,136}=-\frac{3,4}{0,96169}\approx-3,535.
Logo \theta=\arctan(-3,535). A arctangente dá um ângulo principal negativo; porém precisamos escolher o quadrante correto olhando também para \cos\theta=x_{1}/x_{m}. Temos x_{1}>0 (logo \cos\theta>0), e \tan\theta<0. Isso indica que \theta está no quarto quadrante (ângulo entre -\pi/2 e 0). Assim tomo
\theta\approx -1,295\\ \mathrm{rad}.
(Observação: \arctan(-3,535)\approx-1,295.)
Agora retorno à definição \theta=\omega t_{1}+\varphi e resolvo para \varphi:
\varphi=\theta-\omega t_{1}=-1,295-7,07107\cdot 1,0=-8,36607\\ \mathrm{rad}.
É comum reduzir a fase ao intervalo (-\pi,\pi]. Soma-se 2\pi para obter
\varphi\approx -8,36607+2\pi\approx -2,08288\\ \mathrm{rad}.
Arredondando:
\varphi\approx -2,083\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Agora calculo x(0) e v(0). Posso usar fórmulas de transformação direta (resultado da identidade de soma de ângulos), o que evita reusar \varphi diretamente:
Usando identidades trigonométricas resulta
x(0)=x_{1}\cos(\omega t_{1})-\frac{v_{1}}{\omega}\sin(\omega t_{1}),
v(0)=v_{1}\cos(\omega t_{1})+\omega x_{1}\sin(\omega t_{1}).
Explico rapidamente: isso é equivalente a deslocar o argumento de \omega t+\varphi de t_{1} para 0, aplicando fórmulas \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b e análogas.
Calculo \omega t_{1}=\omega\cdot 1,0=7,07107\\ \mathrm{rad}. Como 7,07107 é maior que 2\pi, uso o ângulo reduzido r=\omega-2\pi\approx 0,78788\\ \mathrm{rad} para calcular seno e cosseno:
\cos(\omega)\approx\cos(0,78788)\approx 0,70535,
\sin(\omega)\approx\sin(0,78788)\approx 0,70886.
Agora numérico:
Para x(0):
x(0)=0,136\cdot 0,70535-(0,48079)\cdot 0,70886\approx 0,09593-0,34081\approx -0,24488\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
x(0)\approx -0,245\\ \mathrm{m}.
Para v(0):
v(0)=3,4\cdot 0,70535 + 7,07107\cdot 0,136\cdot 0,70886\approx 2,39819+0,68167\approx 3,07986\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v(0)\approx 3,080\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Finalmente a energia mecânica E do oscilador (energia total conservada) pode ser calculada como energia potencial máxima ou energia total média:
E=\frac{1}{2}k x_{m}^{2}.
Explico: no ponto de amplitude toda a energia é potencial elástica; k é a constante da mola e x_{m} a amplitude.
Usando x_{m}\approx 0,49965\\ \mathrm{m}:
E=\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot (0,49965)^{2}=50\cdot 0,24965\approx 12,4825\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais:
E\approx 12,48\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) \varphi\approx -2,083\\ \mathrm{rad}
(a) x_{m}\approx 0,500\\ \mathrm{m}
(b) x(0)\approx -0,245\\ \mathrm{m}
(b) v(0)\approx 3,080\\ \mathrm{m/s}
(c) E\approx 12,48\\ \mathrm{J}

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