Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
. Em t
, a posição e a velocidade do bloco são
e
. Nessas condições, determine: (a) os valores da constante de fase
e da amplitude do oscilador
? (b) a posição e a velocidade do bloco em
? e (c) a energia mecânica do oscilador?
Passo 1
O enunciado dá um oscilador harmônico simples com massa
e constante elástica
. Em
a posição é
e a velocidade é
.
As perguntas são:
(a) determinar a constante de fase e a amplitude
;
(b) determinar a posição e a velocidade
no instante
;
(c) determinar a energia mecânica do oscilador.
As perguntas são:
(a) determinar a constante de fase
(b) determinar a posição
(c) determinar a energia mecânica do oscilador.
Informações relevantes listadas:
-
-
- Em
: e
Passo 2
Vou escrever as equações gerais do movimento harmônico simples e explicar cada símbolo.
A solução para a posição é
onde
-
é a posição no tempo , -
é a amplitude (o máximo deslocamento), -
é a frequência angular (em ), -
é a constante de fase (em rad).
A velocidade é a derivada de
:
A frequência angular
vem da mola e da massa:
Substituindo
e
:
Passo 3
Agora uso os valores em
. Defino
para simplificar. Então temos o sistema
Explicando:
é o argumento do cosseno/seno no instante
. Essas duas equações relacionam
e
com os dados
e
.
Passo 4
Encontro a amplitude
combinando as duas equações (somando quadrados), porque
:
Explico: da primeira equação
, da segunda
. Somando os quadrados elimina
e dá
.
Agora calculo numericamente. Primeiro
:
Então
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
Agora determino a fase
. Primeiro encontro
a partir de
e
. Usando as duas equações, a tangente é
Substituindo os números:
Logo
. A arctangente dá um ângulo principal negativo; porém precisamos escolher o quadrante correto olhando também para
. Temos
(logo
), e
. Isso indica que
está no quarto quadrante (ângulo entre
e
). Assim tomo
(Observação:
.)
Agora retorno à definição
e resolvo para
:
É comum reduzir a fase ao intervalo
. Soma-se
para obter
Arredondando:
Passo 6
Agora calculo
e
. Posso usar fórmulas de transformação direta (resultado da identidade de soma de ângulos), o que evita reusar
diretamente:
Usando identidades trigonométricas resulta
Explico rapidamente: isso é equivalente a deslocar o argumento de
de
para
, aplicando fórmulas
e análogas.
Calculo
. Como
é maior que
, uso o ângulo reduzido
para calcular seno e cosseno:
Agora numérico:
Para
:
Arredondando:
Para
:
Arredondando:
Passo 7
Finalmente a energia mecânica
do oscilador (energia total conservada) pode ser calculada como energia potencial máxima ou energia total média:
Explico: no ponto de amplitude toda a energia é potencial elástica;
é a constante da mola e
a amplitude.
Usando
:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(a)
(b)
(b)
(c)