Um caixote está em uma rampa que faz um ângulo \theta com a horizontal. Quando \theta é aumentado a partir de zero, e antes que o caixote comece a escorregar, o valor das grandezas a seguir aumenta, diminui ou permanece o mesmo:
o valor máximo f_{\mathrm{s}, \text { máx }}á da força de atrito estático?

Passo 1

O enunciado: um caixote está apoiado numa rampa que faz um ângulo \theta com a horizontal. Começamos em \theta=0 e aumentamos \theta gradualmente; consideramos a situação antes do caixote começar a escorregar. A pergunta é: o valor máximo da força de atrito estático, isto é \displaystyle f_{s,\text{máx}}á, aumenta, diminui ou permanece o mesmo quando \theta aumenta (ainda na faixa em que o corpo não escorrega)?
Informações relevantes dadas: o ângulo \theta aumenta a partir de zero; estamos antes do deslizamento (ainda há atrito estático possível).

Passo 2

Liste das forças atuantes (descrição do diagrama de corpo-livre): o peso do caixote é \displaystyle mg atuando verticalmente para baixo. Decompomos esse peso em duas componentes relativas à rampa: uma componente perpendicular à superfície e uma componente paralela à superfície. As outras forças são a normal \displaystyle N (perpendicular à rampa, para cima) e a força de atrito estático \displaystyle f_s (paralela à rampa, dirigida para impedir o movimento).

Passo 3

Calcule a componente do peso perpendicular à rampa e a normal. Ao projetar \displaystyle mg na direção perpendicular à rampa obtemos a componente \displaystyle mg\cos\theta. Como não há aceleração na direção perpendicular (o caixote não sai da superfície), a soma das forças nessa direção é zero, logo a normal é igual à componente perpendicular do peso:
N = mg\cos\theta.
Aqui \displaystyle m é a massa do caixote e \displaystyle g a aceleração da gravidade. Expliquei cada variável: \displaystyle m em quilogramas, \displaystyle g em \mathrm{m/s^2}, e \theta em radianos ou graus — o importante é o comportamento de \cos\theta.

Passo 4

Defina a expressão do atrito estático máximo. O máximo que a força de atrito estático pode atingir antes de o corpo escorregar é dado por
f_{s,\text{máx}}=\mu_s N,á
onde \displaystyle \mu_s é o coeficiente de atrito estático (uma constante que depende das superfícies em contato) e \displaystyle N é a normal. Isso significa que o limite do atrito estático é proporcional à normal.

Passo 5

Substitua a expressão de N em f_{s,\text{máx}}á. Usando N=mg\cos\theta obtemos
f_{s,\text{máx}}=\mu_s\,mg\cos\theta.á
Portanto \displaystyle f_{s,\text{máx}}á é uma função de \theta através de \cos\theta.

Passo 6

Analise como essa expressão varia quando \theta aumenta a partir de zero. Para \theta=0 temos \cos 0 = 1, então f_{s,\text{máx}}(\theta=0)=\mu_s mgá. À medida que \theta cresce (por exemplo de 0^\circ para 10^\circ, 20^\circ, etc.), a função \cos\theta decresce (é uma função decrescente em 0\le\theta\le 90^\circ). Como \mu_s, m e g são constantes, o produto \mu_s mg\cos\theta também decresce quando \theta aumenta. Logo \displaystyle f_{s,\text{máx}}á diminui com o aumento de \theta.

Passo 7

Observação didática adicional (útil para provas): embora o limite máximo do atrito estático \displaystyle f_{s,\text{máx}}á diminua com \theta, a força de atrito estático necessária para manter o caixote em repouso é a componente paralela do peso, \displaystyle mg\sin\theta, que aumenta com \theta. O deslizamento ocorre quando mg\sin\theta atinge \displaystyle f_{s,\text{máx}}=\mu_s mg\cos\thetaá. Isso mostra intuitivamente por que aumentar \theta tanto aumenta a força que tenta puxar o caixote ladeira abaixo quanto reduz o limite de atrito que pode resistir a essa força — por isso chega-se ao deslizamento.

Resposta

Diminui.

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