Uma residência deve ser mantida aquecida no inverno utilizando-se uma bomba de calor. Os cálculos de perda de calor através das paredes e teto do imóvel indicam um valor de
por grau de diferença de temperatura entre o interior da residência e o meio externo. A temperatura deve ser mantida em
no interior da residência. Pede-se a) Potência mínima para acionar o compressor, quando a temperatura externa for
. b) Se a potência determinada em (a) for mantida, qual a máxima temperatura interna quando T_externa cair para
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: A perda de calor através das paredes e teto é de
por grau de diferença de temperatura entre interior e exterior. - Informação: A temperatura interior deve ser mantida em
. - Pergunta (a): Qual a potência mínima do compressor quando a temperatura externa for
? - Pergunta (b): Mantendo a potência encontrada em (a), qual será a máxima temperatura interna quando a temperatura externa cair para
?
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma relação linear entre potência fornecida e diferença de temperatura. Definimos:
onde:
-
é a taxa de calor que se perde (ou que a bomba precisa repor), em ; -
é o coeficiente de perda térmica, dado como ; -
é a temperatura interna, em ; -
é a temperatura externa, em .
Explicação didática: essa fórmula diz que para cada grau de diferença entre dentro e fora, você perde
. Em regime permanente (estado estacionário) a potência mínima do compressor precisa ser igual a essa perda
para manter a temperatura desejada.
Passo 3
Calculemos a diferença de temperatura para o item (a). Com
e
,
Passo 4
Agora substituímos na fórmula para encontrar a potência mínima necessária:
Calcule passo a passo:
. Logo
Interpretação: a bomba precisa fornecer pelo menos
para compenser as perdas e manter
quando está
do lado de fora.
Passo 5
Comentário prático e encorajador: esse valor é o mínimo em regime permanente. Na prova, declare sempre que se trata de potência mínima necessária em estado estacionário — se quiser, em situações reais inclui-se margem extra para partida e conforto, mas aqui usamos o modelo pedido.
Passo 6
Para o item (b) usamos a mesma equação, agora conhecida a potência e a nova temperatura externa. Queremos
tal que
onde
é a potência mantida (a do item (a)):
,
e
.
Passo 7
Isolamos
:
Substituindo os números:
Calculemos passo a passo:
. Então
Passo 8
Interpretação final e dica de prova: com a mesma potência de
, se a temperatura externa cai para
a máxima temperatura interna que a bomba consegue manter em regime é
, ou seja, abaixo dos
desejados. Na prova, explique que para manter
em
seria preciso potência maior — por exemplo,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)