Uma residência deve ser mantida aquecida no inverno utilizando-se uma bomba de calor. Os cálculos de perda de calor através das paredes e teto do imóvel indicam um valor de 0,8 \mathrm{~kW} por grau de diferença de temperatura entre o interior da residência e o meio externo. A temperatura deve ser mantida em 20^{\circ} \mathrm{C} no interior da residência. Pede-se a) Potência mínima para acionar o compressor, quando a temperatura externa for 0^{\circ} \mathrm{C}. b) Se a potência determinada em (a) for mantida, qual a máxima temperatura interna quando T_externa cair para -4^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: A perda de calor através das paredes e teto é de 0,8\\ \mathrm{kW} por grau de diferença de temperatura entre interior e exterior.
  • Informação: A temperatura interior deve ser mantida em 20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pergunta (a): Qual a potência mínima do compressor quando a temperatura externa for 0^{\circ}\mathrm{C}?
  • Pergunta (b): Mantendo a potência encontrada em (a), qual será a máxima temperatura interna quando a temperatura externa cair para -4^{\circ}\mathrm{C}?

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma relação linear entre potência fornecida e diferença de temperatura. Definimos:
\dot{Q} = k\,(T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}),
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor que se perde (ou que a bomba precisa repor), em \mathrm{kW};
  • k é o coeficiente de perda térmica, dado como k=0,8\\ \mathrm{kW}/^\circ\mathrm{C};
  • T_{\text{int}} é a temperatura interna, em ^\circ\mathrm{C};
  • T_{\text{ext}} é a temperatura externa, em ^\circ\mathrm{C}.
Explicação didática: essa fórmula diz que para cada grau de diferença entre dentro e fora, você perde 0,8\\ \mathrm{kW}. Em regime permanente (estado estacionário) a potência mínima do compressor precisa ser igual a essa perda \dot{Q} para manter a temperatura desejada.

Passo 3

Calculemos a diferença de temperatura para o item (a). Com T_{\text{int}}=20^\circ\mathrm{C} e T_{\text{ext}}=0^\circ\mathrm{C},
\Delta T = T_{\text{int}} - T_{\text{ext}} = 20 - 0 = 20\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula para encontrar a potência mínima necessária:
\dot{Q} = k\,\Delta T = 0,8\\ \mathrm{kW}/^\circ\mathrm{C} \times 20\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule passo a passo: 0,8 \times 20 = 16. Logo
\dot{Q} = 16\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: a bomba precisa fornecer pelo menos 16\\ \mathrm{kW} para compenser as perdas e manter 20^\circ\mathrm{C} quando está 0^\circ\mathrm{C} do lado de fora.

Passo 5

Comentário prático e encorajador: esse valor é o mínimo em regime permanente. Na prova, declare sempre que se trata de potência mínima necessária em estado estacionário — se quiser, em situações reais inclui-se margem extra para partida e conforto, mas aqui usamos o modelo pedido.

Passo 6

Para o item (b) usamos a mesma equação, agora conhecida a potência e a nova temperatura externa. Queremos T_{\text{int}} tal que
P = k\,(T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}),
onde P é a potência mantida (a do item (a)): P=16\\ \mathrm{kW}, k=0,8\\ \mathrm{kW}/^\circ\mathrm{C} e T_{\text{ext}}=-4^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Isolamos T_{\text{int}}:
T_{\text{int}} = \frac{P}{k} + T_{\text{ext}}.
Substituindo os números:
T_{\text{int}} = \frac{16\\ \mathrm{kW}}{0,8\\ \mathrm{kW}/^\circ\mathrm{C}} + (-4)^\circ\mathrm{C}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{16}{0,8}=20. Então
T_{\text{int}} = 20 + (-4) = 16\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação final e dica de prova: com a mesma potência de 16\\ \mathrm{kW}, se a temperatura externa cai para -4^\circ\mathrm{C} a máxima temperatura interna que a bomba consegue manter em regime é 16^\circ\mathrm{C}, ou seja, abaixo dos 20^\circ\mathrm{C} desejados. Na prova, explique que para manter 20^\circ\mathrm{C} em -4^\circ\mathrm{C} seria preciso potência maior — por exemplo, k(20-(-4))=0,8\times24=19,2\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) 16\\ \mathrm{kW}
(b) 16^\circ\mathrm{C}

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