Um oscilador harmônico unidimensional está no seu estado fundamental para t<0. Para t \geq 0 é submetido a uma perturbação espacialmente uniforme,
\hat{W}(t)=F_{0} e^{-t / \tau}
onde F_{0} é constante.
Em primeira ordem determinar a probabilidade de encontrar o o oscilador no seu primeiro estado excitado para t>0. Determinar o limite t \rightarrow \infty.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Para t<0 o oscilador harmônico unidimensional está no estado fundamental.
Para t\ge 0 há uma perturbação temporal decaindo exponencialmente:
\hat{W}(t)=F_{0} e^{-t/\tau}.
O enunciado diz que a perturbação é “espacialmente uniforme”. Isso normalmente corresponde a aplicar uma força uniforme F(t) sobre a partícula, cujo acoplamento ao sistema é através da coordenada \hat{x}. Vou, portanto, interpretar a perturbação como
\hat{W}(t) = -\hat{x}\,F_{0} e^{-t/\tau},
onde o sinal menos vem da forma usual do potencial de força V(x,t)=-xF(t). Se o enunciado original tivesse outra convenção, os sinais na amplitude mudariam, mas a probabilidade (módulo quadro) seria a mesma.
Pergunta: em primeira ordem (perturbação temporal de primeira ordem) determinar a probabilidade de encontrar o oscilador no primeiro estado excitado (|1\rangle) para t>0 e determinar o limite t\to\infty.
Passo 2
Princípio da teoria de perturbação dependente do tempo (primeira ordem): a amplitude de transição do estado inicial |0\rangle para um estado final |n\rangle em primeira ordem é
Explicação das quantidades: \hbar é a constante de Planck reduzida, E_n são os autovalores de energia do oscilador, e W_{n0}(t') é o elemento de matriz da perturbação entre os estados. A probabilidade de transição (em primeira ordem) é
P_{0\to n}(t)=\left|c_{n}^{(1)}(t)\right|^{2}.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso específico para o primeiro estado excitado (n=1).
A diferença de frequências é
\omega_{10}=\frac{E_{1}-E_{0}}{\hbar}=\omega,
onde \omega é a frequência angular do oscilador harmônico (porque E_n=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2})).
O elemento de matriz da perturbação, usando \hat{W}(t)=-\hat{x}F_{0}e^{-t/\tau}, é
Isso é a expressão da probabilidade em primeira ordem para tempo t>0.
Passo 8
Determinar o limite t\to\infty.
No limite t\to\infty os termos exponenciais e^{-t/\tau} e e^{-2t/\tau} vão para zero (já que \tau>0 é tempo de decaimento). Assim a fração do numerador tende a 1. Logo
Interpretação rápida: a probabilidade tende a um valor finito dado pela intensidade do pulso (proporcional a F_{0}^{2}), ao acoplamento via x (presente em m,\omega,\hbar) e ao fato de o pulso ter largura temporal \tau que determina o espalhamento em frequência (o denominador \omega^{2}+1/\tau^{2}).