Um oscilador harmônico unidimensional está no seu estado fundamental para t<0. Para t \geq 0 é submetido a uma perturbação espacialmente uniforme,
\hat{W}(t)=F_{0} e^{-t / \tau}
onde F_{0} é constante.
Em primeira ordem determinar a probabilidade de encontrar o o oscilador no seu primeiro estado excitado para t>0. Determinar o limite t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Para t<0 o oscilador harmônico unidimensional está no estado fundamental.
  • Para t\ge 0 há uma perturbação temporal decaindo exponencialmente:
\hat{W}(t)=F_{0} e^{-t/\tau}.
  • O enunciado diz que a perturbação é “espacialmente uniforme”. Isso normalmente corresponde a aplicar uma força uniforme F(t) sobre a partícula, cujo acoplamento ao sistema é através da coordenada \hat{x}. Vou, portanto, interpretar a perturbação como
\hat{W}(t) = -\hat{x}\,F_{0} e^{-t/\tau},
onde o sinal menos vem da forma usual do potencial de força V(x,t)=-xF(t). Se o enunciado original tivesse outra convenção, os sinais na amplitude mudariam, mas a probabilidade (módulo quadro) seria a mesma.
  • Pergunta: em primeira ordem (perturbação temporal de primeira ordem) determinar a probabilidade de encontrar o oscilador no primeiro estado excitado ( |1\rangle) para t>0 e determinar o limite t\to\infty.

Passo 2

Princípio da teoria de perturbação dependente do tempo (primeira ordem): a amplitude de transição do estado inicial |0\rangle para um estado final |n\rangle em primeira ordem é
c_{n}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} dt'\, e^{i\omega_{n0}t'}\, W_{n0}(t'),
onde
\omega_{n0}=\frac{E_{n}-E_{0}}{\hbar}
e
W_{n0}(t')=\langle n|\hat{W}(t')|0\rangle.
Explicação das quantidades: \hbar é a constante de Planck reduzida, E_n são os autovalores de energia do oscilador, e W_{n0}(t') é o elemento de matriz da perturbação entre os estados. A probabilidade de transição (em primeira ordem) é
P_{0\to n}(t)=\left|c_{n}^{(1)}(t)\right|^{2}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso específico para o primeiro estado excitado ( n=1).
  • A diferença de frequências é
\omega_{10}=\frac{E_{1}-E_{0}}{\hbar}=\omega,
onde \omega é a frequência angular do oscilador harmônico (porque E_n=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2})).
  • O elemento de matriz da perturbação, usando \hat{W}(t)=-\hat{x}F_{0}e^{-t/\tau}, é
W_{10}(t') = \langle 1|-\hat{x}F_{0}e^{-t'/\tau}|0\rangle = -F_{0} e^{-t'/\tau}\,\langle 1|\hat{x}|0\rangle.
Agora precisamos do valor de \langle 1|\hat{x}|0\rangle.

Passo 4

Cálculo do elemento de matriz \langle 1|\hat{x}|0\rangle.
  • Na base dos operadores de criação/aniquilação,
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,\bigl(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\bigr).
  • Como \hat{a}|0\rangle=0 e \hat{a}^{\dagger}|0\rangle=|1\rangle, temos
\langle 1|\hat{x}|0\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,\langle 1|(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger})|0\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,\langle 1|\hat{a}^{\dagger}|0\rangle.
  • E \langle 1|\hat{a}^{\dagger}|0\rangle=\langle 0|\hat{a}|1\rangle^{*}=1. Logo
\langle 1|\hat{x}|0\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.
Vou chamar esse valor de x_{10}:
x_{10}\equiv\langle 1|\hat{x}|0\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.

Passo 5

Escrever a amplitude de transição c_{1}^{(1)}(t) usando os resultados anteriores.
Temos
c_{1}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} dt'\, e^{i\omega t'}\left(-F_{0} e^{-t'/\tau}\,x_{10}\right).
Tirando constantes fora da integral:
c_{1}^{(1)}(t) = -\frac{F_{0} x_{10}}{i\hbar}\int_{0}^{t} dt'\, e^{(i\omega - 1/\tau)t'}.

Passo 6

Avaliar a integral exponencial.
A integral é do tipo \int_{0}^{t} e^{\alpha t'} dt' = \frac{e^{\alpha t}-1}{\alpha} com \alpha = i\omega - 1/\tau. Assim
\int_{0}^{t} dt'\, e^{(i\omega - 1/\tau)t'} = \frac{e^{(i\omega - 1/\tau)t}-1}{i\omega - 1/\tau}.
Portanto a amplitude fica
c_{1}^{(1)}(t) = -\frac{F_{0} x_{10}}{i\hbar}\cdot \frac{e^{(i\omega - 1/\tau)t}-1}{i\omega - 1/\tau}.

Passo 7

Calcular a probabilidade P_{0\to 1}(t)=|c_{1}^{(1)}(t)|^{2}. O sinal global e o fator 1/i desaparecem ao tomar o módulo quadrado (pois |1/i|=1), então
P_{0\to 1}(t) = \frac{F_{0}^{2}\,|x_{10}|^{2}}{\hbar^{2}}\cdot \frac{\bigl|e^{(i\omega - 1/\tau)t}-1\bigr|^{2}}{\bigl|i\omega - 1/\tau\bigr|^{2}}.
Agora simplificamos cada parte:
  • |x_{10}|^{2}=\dfrac{\hbar}{2m\omega} (do Passo 4).
  • \bigl|e^{(i\omega - 1/\tau)t}-1\bigr|^{2} pode ser expandido como
\bigl|e^{(i\omega - 1/\tau)t}-1\bigr|^{2} = e^{-2t/\tau} - 2 e^{-t/\tau}\cos(\omega t) + 1.
  • \bigl|i\omega - 1/\tau\bigr|^{2} = \omega^{2} + 1/\tau^{2}.
Substituindo tudo:
P_{0\to 1}(t) = \frac{F_{0}^{2}}{\hbar^{2}}\cdot\frac{\hbar}{2m\omega}\cdot \frac{1 - 2 e^{-t/\tau}\cos(\omega t) + e^{-2t/\tau}}{\omega^{2} + 1/\tau^{2}}.
Cancelando um \hbar:
P_{0\to 1}(t) = \frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega \hbar}\cdot \frac{1 - 2 e^{-t/\tau}\cos(\omega t) + e^{-2t/\tau}}{\omega^{2} + 1/\tau^{2}}.
Isso é a expressão da probabilidade em primeira ordem para tempo t>0.

Passo 8

Determinar o limite t\to\infty.
No limite t\to\infty os termos exponenciais e^{-t/\tau} e e^{-2t/\tau} vão para zero (já que \tau>0 é tempo de decaimento). Assim a fração do numerador tende a 1. Logo
\lim_{t\to\infty} P_{0\to 1}(t) = \frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega \hbar}\cdot \frac{1}{\omega^{2} + 1/\tau^{2}}.
Interpretação rápida: a probabilidade tende a um valor finito dado pela intensidade do pulso (proporcional a F_{0}^{2}), ao acoplamento via x (presente em m,\omega,\hbar) e ao fato de o pulso ter largura temporal \tau que determina o espalhamento em frequência (o denominador \omega^{2}+1/\tau^{2}).

Resposta

P_{0\to 1}(t)=\frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega \hbar}\; \frac{1 - 2 e^{-t/\tau}\cos(\omega t) + e^{-2t/\tau}}{\omega^{2} + 1/\tau^{2}}
\lim_{t\to\infty}P_{0\to 1}(t)=\frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega \hbar}\; \frac{1}{\omega^{2} + 1/\tau^{2}}

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