Um oscilador harmônico unidimensional está no seu estado fundamental para
. Para
é submetido a uma perturbação espacialmente uniforme,
onde
é constante.
Repetir a questão para o segundo estado excitado.
Repetir a questão para o segundo estado excitado.
Passo 1
O enunciado (resumido e firmado) e o que se pede:
- Para
o oscilador harmônico unidimensional está no estado fundamental . - Para
é aplicada uma perturbação temporal que decai exponencialmente: . - O enunciado diz que a perturbação é “espacialmente uniforme”. Aqui vou adotar a interpretação física padrão para uma força espacialmente uniforme: a perturbação acopla à posição e tem a forma
onde o sinal menos só é uma convenção de potência/força; o que importa para transições é o módulo
.
- O que você pediu: repetir a resolução para a transição do estado inicial
para o segundo estado excitado . Ou seja, queremos a amplitude de transição (e a probabilidade) induzida por essa perturbação aplicada a partir de . - Dados físicos relevantes que usarei: autovalores do oscilador harmônico unidimensional
, frequências de transição , e as regras de seleção/matriz para o operador posição em autofunções de número.
(Não resolvo nada nesta etapa; apenas deixei claro o problema, as suposições e os dados que utilizarei.)
Passo 2
Apresentando a teoria necessária (com calma) — perturbação dependente do tempo até segunda ordem:
- Em teoria de perturbações dependente do tempo (quadro de interação), a amplitude de transição do estado inicial
para um estado final tem, em expansão de Dyson, termos de primeira e segunda ordem:
Aqui
,
, e a soma em
corre sobre estados intermédios do sistema. Essas fórmulas vêm da expansão em potências de
no quadro de interação; cada integral traz um fator de
e os expoentes garantem as fases relativas entre níveis.
- Para a nossa perturbação
os elementos matriciais são
- Regra de seleção para
entre estados de número : (esta é uma fórmula fundamental que você deve decorar)
Isto diz:
só conecta níveis cuja diferença de número é
. Consequência imediata:
não conecta diretamente
com
(diferença 2), então a amplitude de primeira ordem para
é nula. Vou mostrar isso explicitamente.
Passo 3
Cálculo do termo de primeira ordem (mostrar que dá zero):
- A amplitude de primeira ordem para o estado
é
- Mas
e, pela regra de seleção de , (porque só muda o número em ). - Portanto
Física intuitiva: um único “quantum” da interação pela posição só permite saltos de um nível; para ir de
a
precisamos de dois passos (processo de segunda ordem).
Passo 4
Preparando a expressão de segunda ordem e identificando estados intermédios relevantes:
- Usamos a fórmula genérica de segunda ordem:
- Pela regra de seleção de
, entre e só há elemento não nulo se . Entre e só há elemento não nulo se ou ; mas não conecta a . Assim o único estado intermédio que contribui para o caminho via é . Logo a soma reduz-se a um único termo . - Substituindo
no integrando, obtemos
Observação:
,
e
, porque
.
Passo 5
Avaliação explícita das integrais temporais no limite
(perturbação que decai): cálculo passo a passo
- Como a perturbação decai exponencialmente, podemos tomar o limite
para obter a amplitude final. Denote . Então cada fator temporal aparece como . Escrevo a integral dupla:
(Os dois expoentes têm o mesmo
porque
.)
- Troco a ordem das integrais para avaliar com facilidade: integrar primeiro em
para cada . Para fixo, varia de até . Assim
- A integral restante é simples:
desde que
, o que ocorre pois
. Portanto
- Voltando às constantes originais,
, então a integral dupla vale
- Substituindo isso em
e lembrando o fator , obtemos
Passo 6
Simplificação dos elementos matriciais e cálculo da probabilidade:
- Use as fórmulas de
entre níveis vizinhos:
- Assim o produto é
- Então a amplitude final é
- A probabilidade de transição para
é o módulo ao quadrado dessa amplitude:
- Simplificando
, obtemos
- Podemos também reescrever em forma equivalente (abrindo o quadrado do denominador ou usando fatores com
). A forma acima é direta e clara: a probabilidade é de ordem (processo de segunda ordem) e decresce quando o decaimento temporal é muito rápido (grande ) ou quando a frequência do oscilador está fora de ressonância.
Breve comentário físico e motivador: como só conecta níveis adjacentes, a transição requer dois “passes” pela interação (estadios intermediários), daí a amplitude ser de segunda ordem em e a probabilidade escalar como . Não se assuste com as aparências: a técnica usada (trocar a ordem das integrais e usar integrais exponenciais) é padrão e aplicável em muitas questões de teoria de perturbações temporais.