Um oscilador harmônico unidimensional está no seu estado fundamental para t<0. Para t \geq 0 é submetido a uma perturbação espacialmente uniforme,
\hat{W}(t)=F_{0} e^{-t / \tau}
onde F_{0} é constante.
Repetir a questão para o segundo estado excitado.

Passo 1

O enunciado (resumido e firmado) e o que se pede:
  • Para t<0 o oscilador harmônico unidimensional está no estado fundamental \lvert 0\rangle.
  • Para t\ge0 é aplicada uma perturbação temporal que decai exponencialmente: \hat{W}(t)=F_0 e^{-t/\tau}.
  • O enunciado diz que a perturbação é “espacialmente uniforme”. Aqui vou adotar a interpretação física padrão para uma força espacialmente uniforme: a perturbação acopla à posição e tem a forma
\hat{W}(t) = -\hat{x}\,F_0 e^{-t/\tau},
onde o sinal menos só é uma convenção de potência/força; o que importa para transições é o módulo F_0.
  • O que você pediu: repetir a resolução para a transição do estado inicial \lvert 0\rangle para o segundo estado excitado \lvert 2\rangle. Ou seja, queremos a amplitude de transição (e a probabilidade) \,0\to2 induzida por essa perturbação aplicada a partir de t=0.
  • Dados físicos relevantes que usarei: autovalores do oscilador harmônico unidimensional \,E_n=\hbar\omega\big(n+\tfrac12\big), frequências de transição \omega_{nm}=(E_n-E_m)/\hbar=(n-m)\omega, e as regras de seleção/matriz para o operador posição \hat{x} em autofunções de número.

    (Não resolvo nada nesta etapa; apenas deixei claro o problema, as suposições e os dados que utilizarei.)

Passo 2

Apresentando a teoria necessária (com calma) — perturbação dependente do tempo até segunda ordem:
  • Em teoria de perturbações dependente do tempo (quadro de interação), a amplitude de transição do estado inicial \lvert i\rangle para um estado final \lvert f\rangle tem, em expansão de Dyson, termos de primeira e segunda ordem:
c_f^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t}dt'\;W_{f i}(t')\,e^{i\omega_{f i}t'},
c_f^{(2)}(t)=\frac{1}{(i\hbar)^2}\sum_{k}\int_{0}^{t}dt'\int_{0}^{t'}dt''\;W_{f k}(t')W_{k i}(t'')\,e^{i\omega_{f k}t'}e^{i\omega_{k i}t''}.
Aqui \omega_{ab}=(E_a-E_b)/\hbar, W_{ab}(t)=\langle a|\hat{W}(t)|b\rangle, e a soma em k corre sobre estados intermédios do sistema. Essas fórmulas vêm da expansão em potências de \hat{W} no quadro de interação; cada integral traz um fator de 1/(i\hbar) e os expoentes garantem as fases relativas entre níveis.
  • Para a nossa perturbação \hat{W}(t)=-\hat{x}F_0 e^{-t/\tau} os elementos matriciais são
W_{ab}(t) = -F_0 e^{-t/\tau}\,x_{ab},\qquad x_{ab}=\langle a|\hat{x}|b\rangle.
  • Regra de seleção para \hat{x} entre estados de número n: (esta é uma fórmula fundamental que você deve decorar)
\langle n|\hat{x}|m\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\big(\sqrt{m+1}\,\delta_{n,m+1}+\sqrt{m}\,\delta_{n,m-1}\big).
Isto diz: \hat{x} só conecta níveis cuja diferença de número é \pm1. Consequência imediata: \hat{x} não conecta diretamente \lvert 0\rangle com \lvert 2\rangle (diferença 2), então a amplitude de primeira ordem para 0\to2 é nula. Vou mostrar isso explicitamente.

Passo 3

Cálculo do termo de primeira ordem (mostrar que dá zero):
  • A amplitude de primeira ordem para o estado \lvert 2\rangle é
c_2^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t}dt'\;W_{2 0}(t')\,e^{i\omega_{20}t'}.
  • Mas W_{20}(t')=-F_0 e^{-t'/\tau}x_{20} e, pela regra de seleção de \hat{x}, x_{20}=\langle 2|\hat{x}|0\rangle=0 (porque \hat{x} só muda o número em \pm1).
  • Portanto
c_2^{(1)}(t)=0.
Física intuitiva: um único “quantum” da interação pela posição só permite saltos de um nível; para ir de 0 a 2 precisamos de dois passos (processo de segunda ordem).

Passo 4

Preparando a expressão de segunda ordem e identificando estados intermédios relevantes:
  • Usamos a fórmula genérica de segunda ordem:
c_2^{(2)}(t)=\frac{1}{(i\hbar)^2}\sum_{k}\int_{0}^{t}dt'\int_{0}^{t'}dt''\;W_{2 k}(t')W_{k 0}(t'')\,e^{i\omega_{2 k}t'}e^{i\omega_{k 0}t''}.
  • Pela regra de seleção de \hat{x}, entre \lvert 0\rangle e \lvert k\rangle só há elemento não nulo se k=1. Entre \lvert 2\rangle e \lvert k\rangle só há elemento não nulo se k=1 ou k=3; mas k=3 não conecta a \lvert0\rangle. Assim o único estado intermédio que contribui para o caminho 0\to2 via \hat{x}\hat{x} é k=1. Logo a soma reduz-se a um único termo k=1.
  • Substituindo W_{ab}(t)=-F_0 e^{-t/\tau}x_{ab} no integrando, obtemos
c_2^{(2)}(t)=\frac{1}{(i\hbar)^2}(-F_0)^2 x_{21}x_{10}\int_{0}^{t}dt'\,e^{-t'/\tau}e^{i\omega_{21}t'}\int_{0}^{t'}dt''\,e^{-t''/\tau}e^{i\omega_{10}t''}.
Observação: \omega_{10}=\omega, \omega_{21}=\omega e \omega_{20}=2\omega, porque E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12).

Passo 5

Avaliação explícita das integrais temporais no limite t\to\infty (perturbação que decai): cálculo passo a passo
  • Como a perturbação decai exponencialmente, podemos tomar o limite t\to\infty para obter a amplitude final. Denote a=1/\tau-i\omega. Então cada fator temporal aparece como e^{-(1/\tau-i\omega)t}. Escrevo a integral dupla:
I\equiv\int_{0}^{\infty}dt'\,e^{-a t'}\int_{0}^{t'}dt''\,e^{-a t''}.
(Os dois expoentes têm o mesmo a porque \omega_{21}=\omega_{10}=\omega.)
  • Troco a ordem das integrais para avaliar com facilidade: integrar primeiro em t' para cada t''. Para t'' fixo, t' varia de t'' até \infty. Assim
I=\int_{0}^{\infty}dt''\,e^{-a t''}\int_{t''}^{\infty}dt'\,e^{-a t'} =\int_{0}^{\infty}dt''\,e^{-a t''}\frac{e^{-a t''}}{a} =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}dt''\,e^{-2a t''}.
  • A integral restante é simples:
\int_{0}^{\infty}dt''\,e^{-2a t''}=\frac{1}{2a},
desde que \Re(a)>0, o que ocorre pois 1/\tau>0. Portanto
I=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2a}=\frac{1}{2a^2}.
  • Voltando às constantes originais, a=1/\tau-i\omega, então a integral dupla vale
\int_{0}^{\infty}dt'\,e^{-(1/\tau-i\omega)t'}\int_{0}^{t'}dt''\,e^{-(1/\tau-i\omega)t''}=\frac{1}{2(1/\tau-i\omega)^2}.
  • Substituindo isso em c_2^{(2)} e lembrando o fator (i\hbar)^{-2}=-1/\hbar^2, obtemos
c_2^{(2)}(\infty) = -\frac{F_0^2}{\hbar^2}\,x_{21}x_{10}\cdot\frac{1}{2(1/\tau-i\omega)^2}.

Passo 6

Simplificação dos elementos matriciais e cálculo da probabilidade:
  • Use as fórmulas de \hat{x} entre níveis vizinhos:
x_{10}=\langle 1|\hat{x}|0\rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}, \qquad x_{21}=\langle 2|\hat{x}|1\rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\sqrt{2}.
  • Assim o produto é
x_{21}x_{10}=\frac{\hbar}{2m\omega}\sqrt{2}.
  • Então a amplitude final é
c_2^{(2)}(\infty) = -\frac{F_0^2}{\hbar^2}\cdot\frac{\hbar}{2m\omega}\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2(1/\tau-i\omega)^2} = -\frac{F_0^2}{\hbar}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4m\omega}\cdot\frac{1}{(1/\tau-i\omega)^2}.
  • A probabilidade de transição para \lvert 2\rangle é o módulo ao quadrado dessa amplitude:
P_{0\to2}=\big|c_2^{(2)}(\infty)\big|^2 =\frac{F_0^4}{\hbar^2}\cdot\frac{2}{16 m^2\omega^2}\cdot\frac{1}{\big|(1/\tau-i\omega)^2\big|^2}.
  • Simplificando \big|(1/\tau-i\omega)^2\big|^2=\big[(1/\tau)^2+\omega^2\big]^2, obtemos
P_{0\to2}=\frac{F_0^4}{8\hbar^2 m^2\omega^2}\cdot\frac{1}{\big[(1/\tau)^2+\omega^2\big]^2}.
  • Podemos também reescrever em forma equivalente (abrindo o quadrado do denominador ou usando fatores com 2\omega). A forma acima é direta e clara: a probabilidade é de ordem F_0^4 (processo de segunda ordem) e decresce quando o decaimento temporal é muito rápido (grande 1/\tau) ou quando a frequência do oscilador está fora de ressonância.

    Breve comentário físico e motivador: como \hat{x} só conecta níveis adjacentes, a transição 0\to2 requer dois “passes” pela interação (estadios intermediários), daí a amplitude ser de segunda ordem em F_0 e a probabilidade escalar como F_0^4. Não se assuste com as aparências: a técnica usada (trocar a ordem das integrais e usar integrais exponenciais) é padrão e aplicável em muitas questões de teoria de perturbações temporais.

Resposta

P_{0\to2}=\frac{F_0^4}{8\hbar^2 m^2\omega^2}\cdot\frac{1}{\big[(1/\tau)^2+\omega^2\big]^2}.

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