10.3 An EM wave in free space is described by
H=0.4 \cos \left(10^{8} t+\beta y\right) \mathrm{A} / \mathrm{M}
Determine (a) the angular frequency \omega, (b) the wave number \beta, (c) the wavelength \lambda, (d) the direction of wave propagation, (e) the value of H(2,3,4,10 \mathrm{~ns}).

Passo 1

O enunciado dá a onda eletromagnética em espaço livre
H = 0{,}4\cos\!\bigl(10^{8}t + \beta y\bigr)\\ \mathrm{A/m}.
Perguntas a responder:
(a) qual é a frequência angular \omega;
(b) qual é o número de onda \beta;
(c) qual é o comprimento de onda \lambda;
(d) qual é a direção de propagação da onda;
(e) qual é o valor de H no ponto (x,y,z,t)=(2,3,4,10\\ \mathrm{ns}).
Informações relevantes extraídas do enunciado: o argumento do cosseno é \,10^{8}t+\beta y, ou seja a parte dependente de t é 10^{8}t e a dependente de y é \beta y. Não há dependência em x nem em z.

Passo 2

Identificar \omega.
Regra usada: em uma onda harmônica a parte que multiplica t no argumento da função trigonométrica é a frequência angular \omega. Assim, comparando com \cos(\omega t + \cdots) vemos diretamente que
\omega = 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Breve explicação do que é \omega: \omega mede quantos radianos a fase avança por segundo; a frequência (em Hz) é \,f=\omega/(2\pi), que aqui valeria \,f=\dfrac{10^{8}}{2\pi} (não pedido, mas útil para interpretar a onda).

Passo 3

Determinar \beta usando a relação de propagação em espaço livre.
Em espaço livre a relação de dispersão para ondas eletromagnéticas é
\omega = c\beta,
onde c é a velocidade da luz no vácuo; usaremos c=3{,}0\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor usual aproximado). Explicando: \beta é o número de onda (também denotado por k) e tem unidades de \mathrm{rad/m}; relaciona-se com \omega pela velocidade de fase v_p=\omega/\beta, que em espaço livre vale c. Portanto
\beta = \frac{\omega}{c} = \frac{10^{8}}{3{,}0\times 10^{8}} = \frac{1}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 0{,}333333\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda.
Duas fórmulas equivalentes que eu uso aqui e explico:
\lambda = \frac{2\pi}{\beta}
porque \beta é o número de radianos por metro, e
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{2\pi c}{\omega}.
Usando \beta=\tfrac{1}{3} obtemos
\lambda = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi\\ \mathrm{m}.
Em valor numérico
\lambda \approx 6\pi \approx 18{,}8496\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a direção de propagação.
Raciocínio pelo contorno de fase: a fase é \varphi(t,y)=\omega t + \beta y. Superfícies de fase constante satisfazem
\omega t + \beta y = \text{const}.
Isolando y,
y = -\frac{\omega}{\beta}t + \text{const}.
Diferenciando, a velocidade de propagação na direção y é dy/dt = -\omega/\beta. Como \omega/\beta = c>0, temos dy/dt = -c, ou seja a onda desloca-se no sentido negativo do eixo y. Intuitivamente: se o sinal do termo espacial é positivo ( +\beta y) e o temporal é positivo ( +\omega t), para manter a fase constante y tem que diminuir quando t aumenta — portanto a onda viaja na direção -\hat{y}.

Passo 6

Calcular H(2,3,4,10\\ \mathrm{ns}).
Observação: a função depende só de t e y, então x=2 e z=4 não entram no cálculo. Converter o tempo:
10\\ \mathrm{ns} = 10\times 10^{-9}\\ \mathrm{s} = 1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Calcular o argumento do cosseno usando t=1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{s} e y=3\\ \mathrm{m}:
10^{8}t + \beta y = 10^{8}\cdot(1{,}0\times 10^{-8}) + \frac{1}{3}\cdot 3 = 1 + 1 = 2\\ \text{radianos}.
Portanto
H(2,3,4,10\\ \mathrm{ns}) = 0{,}4\cos(2)\\ \mathrm{A/m}.
Se quisermos valor numérico: \cos(2)\approx -0{,}41614684, então
H(2,3,4,10\\ \mathrm{ns}) \approx 0{,}4\cdot(-0{,}41614684)\approx -0{,}1664587\\ \mathrm{A/m}.
Arredondando razoavelmente, -0{,}1665\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

(a) \omega = 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}
(b) \beta = \dfrac{1}{3}\\ \mathrm{rad/m}
(c) \lambda = 6\pi\\ \mathrm{m}\\ (\approx 18{,}8496\\ \mathrm{m})
(d) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo y (ou seja, -\hat{y})
(e) H(2,3,4,10\\ \mathrm{ns}) = 0{,}4\cos(2)\\ \mathrm{A/m}\approx -0{,}1665\\ \mathrm{A/m}

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