10.3 An EM wave in free space is described by
Determine (a) the angular frequency
, (b) the wave number
, (c) the wavelength
, (d) the direction of wave propagation, (e) the value of
.
Passo 1
O enunciado dá a onda eletromagnética em espaço livre
Perguntas a responder:
(a) qual é a frequência angular ;
(b) qual é o número de onda ;
(c) qual é o comprimento de onda ;
(d) qual é a direção de propagação da onda;
(e) qual é o valor de no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o argumento do cosseno é , ou seja a parte dependente de
é
e a dependente de
é
. Não há dependência em
nem em
.
(a) qual é a frequência angular
(b) qual é o número de onda
(c) qual é o comprimento de onda
(d) qual é a direção de propagação da onda;
(e) qual é o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado: o argumento do cosseno é
Passo 2
Identificar
.
Regra usada: em uma onda harmônica a parte que multiplica no argumento da função trigonométrica é a frequência angular
. Assim, comparando com
vemos diretamente que
Regra usada: em uma onda harmônica a parte que multiplica
Breve explicação do que é
:
mede quantos radianos a fase avança por segundo; a frequência (em Hz) é
, que aqui valeria
(não pedido, mas útil para interpretar a onda).
Passo 3
Determinar
usando a relação de propagação em espaço livre.
Em espaço livre a relação de dispersão para ondas eletromagnéticas é
Em espaço livre a relação de dispersão para ondas eletromagnéticas é
onde
é a velocidade da luz no vácuo; usaremos
(valor usual aproximado). Explicando:
é o número de onda (também denotado por
) e tem unidades de
; relaciona-se com
pela velocidade de fase
, que em espaço livre vale
. Portanto
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
.
Duas fórmulas equivalentes que eu uso aqui e explico:
Duas fórmulas equivalentes que eu uso aqui e explico:
porque
é o número de radianos por metro, e
Usando
obtemos
Em valor numérico
Passo 5
Determinar a direção de propagação.
Raciocínio pelo contorno de fase: a fase é . Superfícies de fase constante satisfazem
Raciocínio pelo contorno de fase: a fase é
Isolando
,
Diferenciando, a velocidade de propagação na direção
é
. Como
, temos
, ou seja a onda desloca-se no sentido negativo do eixo
. Intuitivamente: se o sinal do termo espacial é positivo (
) e o temporal é positivo (
), para manter a fase constante
tem que diminuir quando
aumenta — portanto a onda viaja na direção
.
Passo 6
Calcular
.
Observação: a função depende só de e
, então
e
não entram no cálculo. Converter o tempo:
Observação: a função depende só de
Calcular o argumento do cosseno usando
e
:
Portanto
Se quisermos valor numérico:
, então
Arredondando razoavelmente,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo (ou seja,
)
(e)
(b)
(c)
(d) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo
(e)