(*) Um oscilador microscópico tem seu primeiro e segundo estados excitados
e
acima do estado fundamental. Calcule o fator de Boltzmann para o estado fundamental, para o primeiro estado excitado e para o segundo estado excitado, à temperatura ambiente.
Passo 1
O enunciado dá as energias dos três estados relativas ao estado fundamental e pede os fatores de Boltzmann em temperatura ambiente. Informações dadas:
- Energia do estado fundamental:
(referência). - Energia do 1.º estado excitado:
acima do fundamental. - Energia do 2.º estado excitado:
acima do fundamental. - Temperatura ambiente: vamos tomar
(valor padrão quando não especificado).
As perguntas são: calcular o fator de Boltzmann para cada um dos três estados (fundamental, 1.º excitado, 2.º excitado) à temperatura indicada.
Passo 2
Vou explicar o que é o fator de Boltzmann e a fórmula que usamos. O fator de Boltzmann de um estado com energia
é
Aqui:
-
é a energia do estado em electronvolts ( ) relativa à referência escolhida (aqui o estado fundamental tem ). -
é a constante de Boltzmann, que em unidades de vale aproximadamente . -
é a temperatura em kelvin ( ).
Interpretação física curta (para não ficar só na fórmula): o fator de Boltzmann dá, até uma constante de normalização, a contribuição relativa desse estado à distribuição de populações em equilíbrio térmico. Estados com energia maior têm fator menor, o que significa que são menos populados em equilíbrio.
Passo 3
Calcular primeiro
em
para
. Usando
:
Esse número
é uma “escala de energia térmica” em
. Energies da ordem de
são típicas a 300 K.
Passo 4
Calcular o fator para o estado fundamental. A energia é
. Substituindo na fórmula:
Explicação: o estado de referência tem fator 1 — todos os outros fatores serão menores que 1 se têm energia positiva relativa ao fundamental.
Passo 5
Calcular o fator para o 1.º estado excitado com
. Primeiro o expoente:
Agora a exponencial:
Interpretação prática: em equilíbrio térmico a 300 K, o 1.º excitado tem cerca de
do peso (não normalizado) do estado fundamental.
Passo 6
Calcular o fator para o 2.º estado excitado com
. Primeiro o expoente:
Agora a exponencial:
Interpretação: o 2.º excitado tem cerca de
do peso (não normalizado) do estado fundamental.
Passo 7
(Bônus útil para provas) Se você quiser as probabilidades de ocupação relativas normalizadas, calcula-se a função de partição
As probabilidades normalizadas seriam então, por exemplo, para o estado fundamental
(ou
), 1.º excitado
e 2.º excitado
. Mas atenção: o enunciado pedia apenas os fatores de Boltzmann (não normalizados).