(*) Um oscilador microscópico tem seu primeiro e segundo estados excitados 0,05 \mathrm{eV} e 0,10 \mathrm{eV} acima do estado fundamental. Calcule o fator de Boltzmann para o estado fundamental, para o primeiro estado excitado e para o segundo estado excitado, à temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado dá as energias dos três estados relativas ao estado fundamental e pede os fatores de Boltzmann em temperatura ambiente. Informações dadas:
  • Energia do estado fundamental: \,0\\ \mathrm{eV} (referência).
  • Energia do 1.º estado excitado: \,0{,}05\\ \mathrm{eV} acima do fundamental.
  • Energia do 2.º estado excitado: \,0{,}10\\ \mathrm{eV} acima do fundamental.
  • Temperatura ambiente: vamos tomar \,T=300\\ \mathrm{K} (valor padrão quando não especificado).
As perguntas são: calcular o fator de Boltzmann para cada um dos três estados (fundamental, 1.º excitado, 2.º excitado) à temperatura indicada.

Passo 2

Vou explicar o que é o fator de Boltzmann e a fórmula que usamos. O fator de Boltzmann de um estado com energia \,E_i é
e^{-E_i/(k_B T)}.
Aqui:
  • \,E_i é a energia do estado em electronvolts ( \mathrm{eV}) relativa à referência escolhida (aqui o estado fundamental tem \,E=0\\ \mathrm{eV}).
  • \,k_B é a constante de Boltzmann, que em unidades de \mathrm{eV/K} vale aproximadamente \,k_B = 8{,}617333\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • \,T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
Interpretação física curta (para não ficar só na fórmula): o fator de Boltzmann dá, até uma constante de normalização, a contribuição relativa desse estado à distribuição de populações em equilíbrio térmico. Estados com energia maior têm fator menor, o que significa que são menos populados em equilíbrio.

Passo 3

Calcular primeiro \,k_B T em \mathrm{eV} para \,T=300\\ \mathrm{K}. Usando \,k_B = 8{,}617333\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}:
k_B T = (8{,}617333\times 10^{-5})\times 300 = 0{,}025852\\ \mathrm{eV}\\ (\text{aprox.}).
Esse número \,k_B T é uma “escala de energia térmica” em \mathrm{eV}. Energies da ordem de \,0{,}0258\\ \mathrm{eV} são típicas a 300 K.

Passo 4

Calcular o fator para o estado fundamental. A energia é \,E_0=0\\ \mathrm{eV}. Substituindo na fórmula:
\text{fator}_0 = e^{-E_0/(k_B T)} = e^{0} = 1.
Explicação: o estado de referência tem fator 1 — todos os outros fatores serão menores que 1 se têm energia positiva relativa ao fundamental.

Passo 5

Calcular o fator para o 1.º estado excitado com \,E_1=0{,}05\\ \mathrm{eV}. Primeiro o expoente:
-\frac{E_1}{k_B T} = -\frac{0{,}05}{0{,}025852} \approx -1{,}934.
Agora a exponencial:
\text{fator}_1 = e^{-1{,}934} \approx 0{,}144.
Interpretação prática: em equilíbrio térmico a 300 K, o 1.º excitado tem cerca de 14{,}4\% do peso (não normalizado) do estado fundamental.

Passo 6

Calcular o fator para o 2.º estado excitado com \,E_2=0{,}10\\ \mathrm{eV}. Primeiro o expoente:
-\frac{E_2}{k_B T} = -\frac{0{,}10}{0{,}025852} \approx -3{,}868.
Agora a exponencial:
\text{fator}_2 = e^{-3{,}868} \approx 0{,}0209.
Interpretação: o 2.º excitado tem cerca de 2{,}09\% do peso (não normalizado) do estado fundamental.

Passo 7

(Bônus útil para provas) Se você quiser as probabilidades de ocupação relativas normalizadas, calcula-se a função de partição
Z = \sum_i e^{-E_i/(k_B T)} = 1 + 0{,}144 + 0{,}0209 \approx 1{,}165.
As probabilidades normalizadas seriam então, por exemplo, para o estado fundamental \approx 1/1{,}165 \approx 0{,}858 (ou 85{,}8\%), 1.º excitado \approx 0{,}124 e 2.º excitado \approx 0{,}0179. Mas atenção: o enunciado pedia apenas os fatores de Boltzmann (não normalizados).

Resposta

\text{fator}_{\text{fundamental}} = 1
\text{fator}_{\text{1.º excitado}} \approx 0{,}144º
\text{fator}_{\text{2.º excitado}} \approx 0{,}0209º

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