(**) Um bloco de cobre de 50 g (um mol tem uma massa de
) a uma temperatura de
é posto em contato com um bloco de alumínio de 100 g (massa molar de 27 g) a uma temperatura de
. Os blocos encontram-se no interior de um invólucro isolante, com pouco contato com as paredes. Nessas temperaturas, o limite de altas temperaturas é válido para o calor específico. Calcule a temperatura final dos dois blocos. NÃO pesquise os valores dos calores específicos do alumínio e do cobre; você deve ser capaz de determiná-los por si.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura de equilíbrio térmico entre os blocos:
- Massa do cobre:
. - Massa molar do cobre:
. - Temperatura inicial do cobre:
. - Massa do alumínio:
. - Massa molar do alumínio:
. - Temperatura inicial do alumínio:
. - Sistema isolado (não há perda de calor para o meio).
- O enunciado diz que “o limite de altas temperaturas é válido para o calor específico” — isto indica que devemos usar a lei de Dulong–Petit para obter os calores específicos.
O que se pede: calcular a temperatura final comum
dos dois blocos quando atingirem equilíbrio térmico dentro do isolamento.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (Dulong–Petit) de forma simples: em sólidos cristalinos, no limite de altas temperaturas (comparado à energia térmica por grau de liberdade), cada átomo contribui com
de capacidade calorífica (onde
é a constante de Boltzmann). Multiplicando por um mol de átomos obtemos a capacidade térmica molar aproximada
onde
é a constante dos gases ideais. Aqui:
Esse valor é a capacidade calorífica por mol; para usarmos com massas em gramas precisamos transformar em calor específico por grama.
Passo 3
Como transformar capacidade molar em calor específico por massa? Se
é a capacidade por mol (J/mol·K) e
é a massa molar em
, então o calor específico por grama
(J/g·K) é
Aplicando ao cobre e ao alumínio usando
:
Para o cobre:
Calculemos:
Para o alumínio:
Calculemos:
Comentário amigo: esses valores são próximos aos valores reais tabulados (por isso Dulong–Petit é útil): cobre
e alumínio
em J/(g·K).
Passo 4
Princípio de conservação de energia térmica no sistema isolado: a soma das trocas de calor é zero. Se
é a temperatura final comum, o calor trocado por cada bloco é
. Assim:
Aqui a ideia é: o cobre perderá ou ganhará calor dependendo do sinal de
; o mesmo para o alumínio, e por conservação a soma deve ser zero.
Passo 5
Agora substituímos números (usamos os valores de
obtidos no passo anterior):
Escrevendo a equação com os coeficientes numéricos:
Calculemos os coeficientes passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
A equação fica:
Expandindo:
Calculemos as constantes:
Somando os termos com
e os constantes:
Logo:
Isolando
:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (confiança):
está entre
e
e mais próximo de
porque o alumínio tem maior capacidade térmica total aqui (maior massa e calor específico maior), então faz sentido fisicamente. Podemos fazer uma checagem somando os dois calores com esse
e verificar que somam aproximadamente zero — isso confirma o cálculo.