(**) Um bloco de cobre de 50 g (um mol tem uma massa de 63,5 \mathrm{~g} ) a uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C} é posto em contato com um bloco de alumínio de 100 g (massa molar de 27 g) a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Os blocos encontram-se no interior de um invólucro isolante, com pouco contato com as paredes. Nessas temperaturas, o limite de altas temperaturas é válido para o calor específico. Calcule a temperatura final dos dois blocos. NÃO pesquise os valores dos calores específicos do alumínio e do cobre; você deve ser capaz de determiná-los por si.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura de equilíbrio térmico entre os blocos:
  • Massa do cobre: m_{\mathrm{Cu}}=50\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar do cobre: M_{\mathrm{Cu}}=63{,}5\\ \mathrm{g/mol}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\mathrm{Cu},i}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do alumínio: m_{\mathrm{Al}}=100\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar do alumínio: M_{\mathrm{Al}}=27\\ \mathrm{g/mol}.
  • Temperatura inicial do alumínio: T_{\mathrm{Al},i}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Sistema isolado (não há perda de calor para o meio).
  • O enunciado diz que “o limite de altas temperaturas é válido para o calor específico” — isto indica que devemos usar a lei de Dulong–Petit para obter os calores específicos.
O que se pede: calcular a temperatura final comum T_f dos dois blocos quando atingirem equilíbrio térmico dentro do isolamento.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (Dulong–Petit) de forma simples: em sólidos cristalinos, no limite de altas temperaturas (comparado à energia térmica por grau de liberdade), cada átomo contribui com 3k_B de capacidade calorífica (onde k_B é a constante de Boltzmann). Multiplicando por um mol de átomos obtemos a capacidade térmica molar aproximada
C_{\text{molar}}\approx 3R,
onde R é a constante dos gases ideais. Aqui:
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad\text{logo}\quad 3R=3\cdot 8{,}314=24{,}942\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Esse valor é a capacidade calorífica por mol; para usarmos com massas em gramas precisamos transformar em calor específico por grama.

Passo 3

Como transformar capacidade molar em calor específico por massa? Se C_{\text{molar}} é a capacidade por mol (J/mol·K) e M é a massa molar em \mathrm{g/mol}, então o calor específico por grama c (J/g·K) é
c=\frac{C_{\text{molar}}}{M}.
Aplicando ao cobre e ao alumínio usando C_{\text{molar}}=3R:
Para o cobre:
c_{\mathrm{Cu}}=\frac{24{,}942}{63{,}5} \\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
Calculemos:
24{,}942\div 63{,}5 \approx 0{,}3928\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
Para o alumínio:
c_{\mathrm{Al}}=\frac{24{,}942}{27} \\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
Calculemos:
24{,}942\div 27 \approx 0{,}9238\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
Comentário amigo: esses valores são próximos aos valores reais tabulados (por isso Dulong–Petit é útil): cobre \sim0{,}39 e alumínio \sim0{,}92 em J/(g·K).

Passo 4

Princípio de conservação de energia térmica no sistema isolado: a soma das trocas de calor é zero. Se T_f é a temperatura final comum, o calor trocado por cada bloco é Q=m c (T_f-T_i). Assim:
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f-T_{\mathrm{Cu},i})+m_{\mathrm{Al}}\,c_{\mathrm{Al}}\,(T_f-T_{\mathrm{Al},i})=0.
Aqui a ideia é: o cobre perderá ou ganhará calor dependendo do sinal de T_f-T_{\mathrm{Cu},i}; o mesmo para o alumínio, e por conservação a soma deve ser zero.

Passo 5

Agora substituímos números (usamos os valores de c obtidos no passo anterior):
Escrevendo a equação com os coeficientes numéricos:
50\cdot 0{,}3928\,(T_f-35)+100\cdot 0{,}9238\,(T_f-20)=0.
Calculemos os coeficientes passo a passo:
Primeiro termo:
50\cdot 0{,}3928 = 19{,}6378\\ \mathrm{J/K}.
Segundo termo:
100\cdot 0{,}9238 = 92{,}374\\ \mathrm{J/K}.
A equação fica:
19{,}6378\,(T_f-35)+92{,}374\,(T_f-20)=0.
Expandindo:
19{,}6378\,T_f-19{,}6378\cdot 35 + 92{,}374\,T_f-92{,}374\cdot 20=0.
Calculemos as constantes:
19{,}6378\cdot 35 = 687{,}323,
92{,}374\cdot 20 = 1\,847{,}480.
Somando os termos com T_f e os constantes:
(19{,}6378+92{,}374)\,T_f - (687{,}323+1\,847{,}480)=0.
Logo:
112{,}0118\,T_f - 2\,534{,}803=0.
Isolando T_f:
T_f=\frac{2\,534{,}803}{112{,}0118}\approx 22{,}634\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (confiança): T_f\approx 22{,}63^\circ\mathrm{C} está entre 20^\circ\mathrm{C} e 35^\circ\mathrm{C} e mais próximo de 20^\circ\mathrm{C} porque o alumínio tem maior capacidade térmica total aqui (maior massa e calor específico maior), então faz sentido fisicamente. Podemos fazer uma checagem somando os dois calores com esse T_f e verificar que somam aproximadamente zero — isso confirma o cálculo.

Resposta

T_f\approx 22{,}63^\circ\mathrm{C}

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