PROBLEMA 1 (4 pontos)
Uma espira circular com 5,0 cm de raio é percorrida por uma corrente de 1,2 A. Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar mu da espira, é dado por 0,60 imath-0,80 jmath. A espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por B=0,15 imath+0,18 k[T].
a) (2 pontos) Determine o vetor torque sobre a espira em termos de vetores unitários.
b) (2 pontos) Determine a energia potencial magnética da espira.

Passo 1

O enunciado dá uma espira circular de raio R=5,0,cm por onde passa uma corrente I=1,2,A. O vetor unitário paralelo ao momento dipolar vecmu é
hat u = 0,60,hatimath - 0,80,hatjmath
e o campo magnético uniforme é vec B = 0,15,hatimath + 0,18,hat k,[T].
Precisamos usar:
  1. vecmu = I,A,hat u, com A=pi R^2.
  2. Torque magnético vectau = vecmu times vec B.
  3. Energia potencial U = -,vecmucdotvec B.

Passo 2

Calcular a magnitude do momento dipolar. A área da espira é
A = pi R^2 = pi ,(0,05,m)^2 = 0,00785398 m^2
Logo
mu = I,A = 1,2 times 0,00785398 = 0,00942478 Acdotm^2
O vetor momento dipolar fica
vecmu = mu,(0,60,hatimath - 0,80,hatjmath) = (0,60,mu),hatimath + (-0,80,mu),hatjmath + 0,hat k

Passo 3

Calcular o torque vectau = vecmutimesvec B. Escrevendo componentes:
vecmu=(0,60mu,,-0,80mu,,0) e vec B=(0,15,,0,,0,18).
O produto vetorial dá
taux = muy Bz - muz By = (-0,80mu)(0,18) = -0,144,mu,
tauy = muz Bx - mux Bz = - (0,60mu)(0,18) = -0,108,mu,
tauz = mux By - muy Bx = -(-0,80mu)(0,15) = 0,12,mu
Substituindo mu=0,00942478,A·m²:
taux = -0,144 times 0,00942478 = -1,36times10^-3 N·m,
tauy = -0,108 times 0,00942478 = -1,02times10^-3 N·m,
tauz = ;;0,12 times 0,00942478 = ;;1,13times10^-3 N·m
Portanto
vectau = (-1,36times10^-3),hatimath ;+;(-1,02times10^-3),hatjmath ;+;(1,13times10^-3),hat k N·m

Passo 4

Calcular a energia potencial U = -,vecmucdotvec B. Como
vecmucdotvec B = mux Bx + muy By + muz Bz, temos
vecmucdotvec B = (0,60mu)(0,15) + (-0,80mu),(0) + 0,(0,18) = 0,09,mu
Logo
U = -,0,09,mu = -,0,09times 0,00942478 = -8,48times10^-4 J

Resposta

a) vectau = -1,36times10^-3,hatimath ;-;1,02times10^-3,hatjmath ;+;1,13times10^-3,hat k,N·m.
b) U = -8,48times10^-4,J.

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