(2.0) Em um oscilar harmônico amortecido a massa é igual a 0.5 kg , o periodo é (2 \pi) / 13 \mathrm{~s}, e a constante de amortecimento 5.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
a) Qual a constante elástica da mola?
b) Quanto decresce a amplitude após uma oscilaçăo completa? (deixe a resposta indicada)
c) Qual a frequência de ressonância para esse oscilador?

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico amortecido com massa m=0,5,kg, período amortecido
T_d = \frac{2\pi}{13}\,\text{s}
e constante de amortecimento c=5{,}0,kg/s.
Precisamos de:
– a constante elástica k, usando \omega_0 e m via k=m\omega_0^2;
– o decaimento da amplitude após uma oscilação, dado por A(T_d)=A_0e^{-\beta T_d};
– a frequência de ressonância \displaystyle f_R = \frac{\omega_R}{2\pi} com \omega_R=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}.

Passo 2

Calcular o coeficiente de amortecimento \beta e a frequência angular amortecida \omega_d:
\beta = \frac{c}{2m} = \frac{5{,}0}{2\cdot0,5} = 5\\ \text{s}^{-1}, \qquad \omega_d = \frac{2\pi}{T_d} = 13\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Encontrar a frequência angular do sistema sem amortecimento \omega_0 e daí k:
\omega_0 = \sqrt{\omega_d^2 + \beta^2} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169 + 25} = \sqrt{194}\\ \text{rad/s},
k = m\,\omega_0^2 = 0,5 \times 194 = 97\\ \text{N/m}.

Passo 4

A amplitude após um período T_d decai segundo
\frac{A(T_d)}{A_0} = e^{-\beta\,T_d} = \exp\Bigl(-5 \times \frac{2\pi}{13}\Bigr) = e^{-\tfrac{10\pi}{13}} \approx 0{,}089.
Ou seja, a amplitude fica cerca de 8{,}9\% da inicial.

Passo 5

Para o oscilador forçado, a frequência angular de ressonância é
\omega_R = \sqrt{\omega_0^2 - 2\,\beta^2} = \sqrt{194 - 2\cdot25} = \sqrt{144} = 12\\ \text{rad/s},
logo a frequência de ressonância vale
f_R = \frac{\omega_R}{2\pi} = \frac{12}{2\pi} \approx 1{,}91\\ \text{Hz}.

Resposta

a) k = 97\\ \text{N/m}.
b) A amplitude decresce num fator
e^{-\tfrac{10\pi}{13}} \approx 0{,}089 \quad(\text{fica }8{,}9\%\text{ da inicial}).
c) f_R \approx 1{,}91\\ \text{Hz}.

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