Um oscilador forçado no regime permanente tem massa 0.20 kg , constante elástica 5,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e constante de amortecimento 1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Ele está em ressonáncia com uma força externa oscilatória de intensidade máxima igual a 2,0 \mathrm{~N}. Qual a amplitude desse oscilador?
Escolha uma opção:
a. 20 cm
b. 40 cm
c. 50 cm
d. 10 cm
e. 30 cm

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador forçado amortecido em regime permanente com massa m=0,20\:\mathrm{kg}, constante elástica k=5,0\:\mathrm{N/m}, coeficiente de amortecimento c=1,0\:\mathrm{kg/s} e força externa de amplitude máxima F_0=2,0\:\mathrm{N}. Como diz “ressonância”, assumimos que a frequência de excitação \omega coincide com a frequência natural \omega_0. Para achar a amplitude em regime permanente, precisamos da expressão teórica da amplitude de um oscilador forçado amortecido.

Passo 2

A expressão geral para a amplitude A de um oscilador forçado amortecido é
A(\omega) =\frac{F_0/m}{\sqrt{\bigl(\omega_0^2-\omega^2\bigr)^2 + (2\beta\,\omega)^2}},
onde \omega_0=\sqrt{k/m} e \beta=\tfrac{c}{2m}. Em ressonância simples, tomamos \omega=\omega_0, de modo que o denominador se reduz a 2\beta\,\omega_0, e portanto
A_{\mathrm{res}} =\frac{F_0/m}{2\beta\,\omega_0} =\frac{F_0}{c\,\omega_0}.

Passo 3

Calculamos a frequência natural:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5{,}0}{0{,}20}} = \sqrt{25} = 5{,}0\:\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Substituindo em A_{\mathrm{res}} = \dfrac{F_0}{c\,\omega_0}:
A_{\mathrm{res}} = \frac{2{,}0}{1{,}0 \times 5{,}0} = 0{,}40\:\mathrm{m} = 40\:\mathrm{cm}.

Resposta

b. 40 cm

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