Ache a velocidade e a posição em função do tempo para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{t}=0 \mathrm{ex}=0, sujeita à seguinte força:
F_{x}=F_{0}+c t.
Onde F_{0} \mathrm{e} c são constantes positivas. Discuta os resultados!

Passo 1

O problema trata de uma partícula de massa m que parte do repouso em t=0 com posição inicial x=0 e sofre uma força unidimensional que varia com o tempo segundo
F_x = F_0 + c\,t,
sendo F_0 e c constantes positivas. O conteúdo é Dinâmica (Segunda Lei de Newton) e Integração de aceleração para obter velocidade e posição em função do tempo.

Passo 2

Pela Segunda Lei de Newton, a aceleração é
a_x(t)=\frac{F_x}{m}=\frac{F_0 + c\,t}{m}.
Integrando a aceleração de 0 a t para obter a velocidade, com v(0)=0:
v(t)=\int_{0}^{t}a_x(t')\,dt' =\int_{0}^{t}\frac{F_0 + c\,t'}{m}\,dt' =\frac{F_0}{m}\,t+\frac{c}{m}\,\frac{t^2}{2}.

Passo 3

Agora integramos v(t) de 0 a t para achar a posição, com x(0)=0:
x(t)=\int_{0}^{t}v(t')\,dt' =\int_{0}^{t}\Bigl(\frac{F_0}{m}t'+\frac{c}{2m}t'^2\Bigr)dt' =\frac{F_0}{m}\,\frac{t^2}{2}+\frac{c}{2m}\,\frac{t^3}{3}.

Passo 4

Como F_x cresce linearmente, a aceleração também cresce linearmente e o movimento é “superuniformemente” acelerado. Se c=0 voltamos ao caso de força constante, com v\propto t e x\propto t^2. Para tempos grandes o termo em ct domina, gerando v\sim t^2 e x\sim t^3, ou seja, aceleração crescente produz ganho de velocidade e deslocamento mais rápido do que no regime de aceleração constante.

Resposta

v(t)=\frac{F_0}{m}\,t+\frac{c}{2m}\,t^2,
x(t)=\frac{F_0}{2m}\,t^2+\frac{c}{6m}\,t^3.

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