|1,0 pts| Encontre o intervalo de convergência da série
Passo 1
Enunciado: temos a série
Informações dadas:
e
são constantes, o termo geral é
.
Pergunta pedida: “encontre o intervalo de convergência” — como não há variável explícita (é uma série numérica), o que se espera é determinar se a série converge ou diverge.
Pergunta pedida: “encontre o intervalo de convergência” — como não há variável explícita (é uma série numérica), o que se espera é determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Fato importante (teste necessário): se uma série
converge então o termo geral
deve tender a zero quando
. Em símbolos:
Explicação curta e intuitiva: se as somas parciais
tendem a um limite finito, então a diferença
tende a zero; logo os termos individuais têm que ir a zero. Esse é um teste que usamos sempre antes de qualquer outro: se
a série diverge imediatamente.
Passo 3
Aplique o teste ao nosso termo geral
.
Vamos analisar o comportamento de quando
. Uma observação prática e simples é olhar a razão entre termos consecutivos:
Vamos analisar o comportamento de
Calcule o limite dessa razão:
Passo 4
Como
(mais precisamente
), a razão entre termos consecutivos tende para um número maior que
. Isso implica que, a partir de algum
, os termos
crescem aproximadamente geometricamente e não tendem a zero — na verdade tendem ao infinito. Portanto
Pelo fato citado no Passo 2, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir.
Passo 5
Conclusão: a série
diverge. Como não existe variável de
(não é uma série de potências), não há um “intervalo de convergência” no sentido de uma faixa de valores de
; o resultado é que a série numérica dada não converge.
Resposta
A série diverge (não converge); não há intervalo de convergência.