|1,0 pts| Encontre o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \pi^{n}}{5 n+24}

Passo 1

Enunciado: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \pi^{n}}{5 n+24}.
Informações dadas:
\;2 e \pi são constantes, o termo geral é \;a_n=\dfrac{2\pi^{n}}{5n+24}.
Pergunta pedida: “encontre o intervalo de convergência” — como não há variável explícita (é uma série numérica), o que se espera é determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Fato importante (teste necessário): se uma série \sum a_n converge então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Em símbolos:
\text{se }\sum a_n \text{ converge então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Explicação curta e intuitiva: se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n tendem a um limite finito, então a diferença S_{N+1}-S_N=a_{N+1} tende a zero; logo os termos individuais têm que ir a zero. Esse é um teste que usamos sempre antes de qualquer outro: se \lim a_n\neq 0 a série diverge imediatamente.

Passo 3

Aplique o teste ao nosso termo geral \;a_n=\dfrac{2\pi^{n}}{5n+24}.
Vamos analisar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Uma observação prática e simples é olhar a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2\pi^{\,n+1}}{5(n+1)+24}\cdot\frac{5n+24}{2\pi^{\,n}} = \pi\cdot\frac{5n+24}{5n+29}.
Calcule o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \pi\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{5n+24}{5n+29} = \pi\cdot 1 = \pi.

Passo 4

Como \pi>1 (mais precisamente \pi\approx 3{,}1416), a razão entre termos consecutivos tende para um número maior que 1. Isso implica que, a partir de algum N, os termos a_n crescem aproximadamente geometricamente e não tendem a zero — na verdade tendem ao infinito. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.
Pelo fato citado no Passo 2, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir.

Passo 5

Conclusão: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2\pi^{n}}{5n+24} diverge. Como não existe variável de x (não é uma série de potências), não há um “intervalo de convergência” no sentido de uma faixa de valores de x; o resultado é que a série numérica dada não converge.

Resposta

A série diverge (não converge); não há intervalo de convergência.

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