Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a série abaixo é convergente ou divergente e deixar claro o teste usado:
Informações dadas importantes:
- O termo geral da série é
. - A série é de termos positivos (para todo
, e ). - A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação curta e intuitiva).
Quando é grande, é útil aproximar o comportamento das expressões por seus termos de maior grau. Aqui:
Quando
-
cresce como para grande; -
cresce como .
Portanto o termo geral parece comportar-se como uma constante vezesquando . Isso sugere usar o Teste da Comparação Limite (limit comparison test) comparando com a série p de termo . Vou explicar esse teste e aplicá‑lo passo a passo.
Passo 3
Enunciado do Teste da Comparação Limite (LCT) e do teste p (aulas rápidas):
- Teste p: A série
converge se, e somente se, . Exemplo: converge porque . - Teste da Comparação Limite: sejam
e sequências de termos positivos. Se
existe com
(constante positiva e finita), então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Intuição: para grandes
,
é aproximadamente
.
Passo 4
Escolha explícita de
e cálculo do limite
.
Escolhemos
Escolhemos
pois a heurística indicou comportamento como
. Agora calculamos
Vou simplificar o numerador usando manipulação algébrica: escrevo
. Então
Substituindo no quociente:
Passo 5
Cálculo do limite final e interpretação.
Agora tomamos limite quando . Como
e
, obtemos
Agora tomamos limite quando
Esse limite é um número positivo e finito (
), portanto, pelo Teste da Comparação Limite, as séries
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 6
Conclusão usando o teste p para
.
A série escolhida de comparação é , que é uma série p com
. Pelo teste p, essa série converge. Como o limite da razão entre
e
é
(constante positiva), pelo Teste da Comparação Limite concluímos que
também converge.
A série escolhida de comparação é
Resposta
A série é convergente.