Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
|0,8 \mathrm{pts}| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a série abaixo é convergente ou divergente e deixar claro o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1}.
Informações dadas importantes:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1}.
  • A série é de termos positivos (para todo n\ge1, \sqrt{n+2}>0 e 2n^{2}+n+1>0).
  • A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação curta e intuitiva).
Quando n é grande, é útil aproximar o comportamento das expressões por seus termos de maior grau. Aqui:
  • \sqrt{n+2} cresce como \sqrt{n} para n grande;
  • 2n^{2}+n+1 cresce como 2n^{2}.
    Portanto o termo geral parece comportar-se como uma constante vezes 1/n^{3/2} quando n\to\infty. Isso sugere usar o Teste da Comparação Limite (limit comparison test) comparando com a série p de termo b_{n}=1/n^{3/2}. Vou explicar esse teste e aplicá‑lo passo a passo.

Passo 3

Enunciado do Teste da Comparação Limite (LCT) e do teste p (aulas rápidas):
  • Teste p: A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Exemplo: \sum 1/n^{3/2} converge porque 3/2>1.
  • Teste da Comparação Limite: sejam \{a_n\} e \{b_n\} sequências de termos positivos. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
existe com 0<L<\infty (constante positiva e finita), então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Intuição: para grandes n, a_n é aproximadamente L\cdot b_n.

Passo 4

Escolha explícita de b_{n} e cálculo do limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Escolhemos
b_{n}=\frac{1}{n^{3/2}},
pois a heurística indicou comportamento como 1/n^{3/2}. Agora calculamos
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1}}{\displaystyle\frac{1}{n^{3/2}}} = \frac{n^{3/2}\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1}.
Vou simplificar o numerador usando manipulação algébrica: escrevo \sqrt{n+2}=n^{1/2}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}. Então
n^{3/2}\sqrt{n+2} = n^{3/2}\cdot n^{1/2}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}} = n^{2}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}.
Substituindo no quociente:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{2}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}{2 n^{2}+n+1} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}{2+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 5

Cálculo do limite final e interpretação.
Agora tomamos limite quando n\to\infty. Como \sqrt{1+\dfrac{2}{n}}\to\sqrt{1}=1 e 2+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\to 2, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}.
Esse limite é um número positivo e finito ( 0<\tfrac{1}{2}<\infty), portanto, pelo Teste da Comparação Limite, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 6

Conclusão usando o teste p para \sum b_n.
A série escolhida de comparação é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}, que é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1. Pelo teste p, essa série converge. Como o limite da razão entre a_n e b_n é \tfrac{1}{2} (constante positiva), pelo Teste da Comparação Limite concluímos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}}{2 n^{2}+n+1} também converge.

Resposta

A série é convergente.

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