Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
[0,9 \mathrm{pts}] \sum_{\mathrm{m}=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{e}^{1 / n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{e^{1/n}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n}{e^{1/n}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
    A pergunta a responder é: a série converge ou diverge? É preciso deixar claro qual teste foi usado.

Passo 2

Vou apresentar o teste que vou usar (e ensinar como funciona): o teste do termo geral (também chamado de condição necessária para convergência).
  • Afirmação do teste: se \sum a_n converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
  • Consequência prática: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série diverge.
    Esse teste é o primeiro que se deve checar numa prova porque é simples e rápido — se o termo geral não tende a zero, já acabou: divergência.

Passo 3

Apliquei o teste do termo geral ao nosso a_n. Primeiro escrevo o módulo do termo:
|a_n| = \frac{n}{e^{1/n}}.
Para estudar \lim_{n\to\infty} a_n é suficiente olhar o comportamento de |a_n|, porque se |a_n|\to\infty então a_n certamente não tende a zero.

Passo 4

Calculo o limite de |a_n|. Note que
\lim_{n\to\infty} e^{1/n} = e^0 = 1.
Como e^{1/n}\to 1, a expressão \dfrac{n}{e^{1/n}} tem comportamento assintótico parecido com n. Mais rigorosamente, existe N tal que para todo n\ge N temos e^{1/n}\le \tfrac{3}{2} (porque a sequência e^{1/n} aproxima-se de 1). Para esses n vale
\frac{n}{e^{1/n}} \ge \frac{n}{3/2} = \frac{2}{3}n,
e \frac{2}{3}n \to \infty quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{e^{1/n}} = +\infty.
Logo |a_n|\to\infty, o que implica que a_n não tende a zero (na verdade o módulo tende a infinito).

Passo 5

Pelo teste do termo geral: como \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. dica rápida de prova: sempre verifique primeiro se o termo geral tende a zero — se não tende, fim de jogo!

Resposta

A série é divergente.

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