Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - A série é alternada por causa do fator
.
A pergunta a responder é: a série converge ou diverge? É preciso deixar claro qual teste foi usado.
Passo 2
Vou apresentar o teste que vou usar (e ensinar como funciona): o teste do termo geral (também chamado de condição necessária para convergência).
- Afirmação do teste: se
converge, então necessariamente . - Consequência prática: se
(ou não existe), então a série diverge.
Esse teste é o primeiro que se deve checar numa prova porque é simples e rápido — se o termo geral não tende a zero, já acabou: divergência.
Passo 3
Apliquei o teste do termo geral ao nosso
. Primeiro escrevo o módulo do termo:
Para estudar
é suficiente olhar o comportamento de
, porque se
então
certamente não tende a zero.
Passo 4
Calculo o limite de
. Note que
Como
, a expressão
tem comportamento assintótico parecido com
. Mais rigorosamente, existe
tal que para todo
temos
(porque a sequência
aproxima-se de
). Para esses
vale
e
quando
. Portanto
Logo
, o que implica que
não tende a zero (na verdade o módulo tende a infinito).
Passo 5
Pelo teste do termo geral: como
, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. dica rápida de prova: sempre verifique primeiro se o termo geral tende a zero — se não tende, fim de jogo!
Resposta
A série é divergente.