Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta.
1 n Se
é um subespaço de
gerado pelo vetor
entāo o complemento ortogonal de
, considerando o produto interno usual de
, é dado por
.
1 n Se
Passo 1
O enunciado diz que
é o subespaço de
gerado pelo vetor
. A afirmação a ser classificada é: "o complemento ortogonal de
, com o produto interno usual, é dado por
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Definição prática e equação que vamos usar. Num espaço euclidiano com produto interno usual (produto escalar), um vetor
pertence a
exatamente quando é ortogonal a
, ou seja quando o produto escalar é zero:
Aqui o produto escalar é o produto componente a componente somado, então
A condição
é, portanto,
Passo 3
Caracterização explícita de
. A condição
dá
. Assim um vetor genérico de
é
Portanto
Observação importante (teorema útil): como
tem dimensão
em
, o espaço ortogonal
tem dimensão
. Isso confirma que
é um subespaço de dimensão
.
Passo 4
Verificação dos vetores dados na afirmação e por que não bastam. Primeiro, os vetores propostos
satisfazem a condição de ortogonalidade com
:
logo ambos pertencem a
. Mas atenção: pertencer ao
não basta para gerar todo
; é preciso que as combinações lineares desses vetores produzam todo o subespaço.
Os vetores
geram no máximo um subespaço de dimensão
. Como já vimos,
tem dimensão
. Logo não é possível que
.
Para tornar isso concreto, mostro um vetor que está em
mas não é combinação linear de
e
. Tome
. Verificamos que
porque
. Suponha, por absurdo, que existam
tais que
Compare coordenadas: da terceira coordenada vem
, ou seja
. Da quarta coordenada vem
, ou seja
. Isso é uma contradição (
não pode ser simultaneamente
e
). Portanto
não pertence a
. Logo
é estritamente menor que
.
Passo 5
Conclusão e forma correta. A afirmação é falsa: os vetores dados estão em
mas não geram todo
porque faltaria um gerador para cobrir a terceira dimensão. Uma base conveniente de
é, por exemplo,
ou seja
Força aí — a técnica rápida para situações assim é: escreva a condição ortogonal
para obter equações lineares, conte quantas restrições há (a dimensão do ortogonal é
) e verifique se os vetores propostos geram o número correto de dimensões.
Resposta
Falso