|3,0| Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta.
1 n Se W é um subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelo vetor v=(1,3,0,0) entāo o complemento ortogonal de W, considerando o produto interno usual de \mathbb{R}^{4}, é dado por W^{\perp}=[(-3,1,0,0),(0,0,2,2)].

Passo 1

O enunciado diz que W é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelo vetor v=(1,3,0,0). A afirmação a ser classificada é: "o complemento ortogonal de W, com o produto interno usual, é dado por W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-3,1,0,0),(0,0,2,2)\}".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Definição prática e equação que vamos usar. Num espaço euclidiano com produto interno usual (produto escalar), um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a W^{\perp} exatamente quando é ortogonal a v, ou seja quando o produto escalar é zero:
x\cdot v = 0.
Aqui o produto escalar é o produto componente a componente somado, então
x\cdot v = x_1\cdot 1 + x_2\cdot 3 + x_3\cdot 0 + x_4\cdot 0 = x_1 + 3x_2.
A condição x\cdot v=0 é, portanto,
x_1 + 3x_2 = 0.

Passo 3

Caracterização explícita de W^{\perp}. A condição x_1+3x_2=0 x_1=-3x_2. Assim um vetor genérico de W^{\perp} é
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-3x_2,x_2,x_3,x_4)=x_2(-3,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)+x_4(0,0,0,1).
Portanto
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-3,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
Observação importante (teorema útil): como W tem dimensão 1 em \mathbb{R}^4, o espaço ortogonal W^{\perp} tem dimensão 4-1=3. Isso confirma que W^{\perp} é um subespaço de dimensão 3.

Passo 4

Verificação dos vetores dados na afirmação e por que não bastam. Primeiro, os vetores propostos
u_1=(-3,1,0,0),\qquad u_2=(0,0,2,2)
satisfazem a condição de ortogonalidade com v:
u_1\cdot v = -3+3=0,\qquad u_2\cdot v = 0+0+2\cdot0+2\cdot0=0,
logo ambos pertencem a W^{\perp}. Mas atenção: pertencer ao W^{\perp} não basta para gerar todo W^{\perp}; é preciso que as combinações lineares desses vetores produzam todo o subespaço.
Os vetores u_1,u_2 geram no máximo um subespaço de dimensão 2. Como já vimos, W^{\perp} tem dimensão 3. Logo não é possível que \operatorname{span}\{u_1,u_2\}=W^{\perp}.
Para tornar isso concreto, mostro um vetor que está em W^{\perp} mas não é combinação linear de u_1 e u_2. Tome w=(0,0,1,0). Verificamos que w\in W^{\perp} porque w\cdot v=0. Suponha, por absurdo, que existam \alpha,\beta tais que
\alpha u_1+\beta u_2 = w.
Compare coordenadas: da terceira coordenada vem 0\cdot\alpha + 2\beta = 1, ou seja 2\beta=1\Rightarrow \beta=\tfrac12. Da quarta coordenada vem 0\cdot\alpha + 2\beta = 0, ou seja 2\beta=0\Rightarrow \beta=0. Isso é uma contradição ( \beta não pode ser simultaneamente \tfrac12 e 0). Portanto w não pertence a \operatorname{span}\{u_1,u_2\}. Logo \operatorname{span}\{u_1,u_2\} é estritamente menor que W^{\perp}.

Passo 5

Conclusão e forma correta. A afirmação é falsa: os vetores dados estão em W^{\perp} mas não geram todo W^{\perp} porque faltaria um gerador para cobrir a terceira dimensão. Uma base conveniente de W^{\perp} é, por exemplo,
\{(-3,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\},
ou seja
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-3,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
Força aí — a técnica rápida para situações assim é: escreva a condição ortogonal x\cdot v=0 para obter equações lineares, conte quantas restrições há (a dimensão do ortogonal é n-\dim W) e verifique se os vetores propostos geram o número correto de dimensões.

Resposta

Falso

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