|3,0| Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta.
[1,0] T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) dada por \(T(x, y)=(2 x-3 y, 4 x,-5 y+1)\) é uma transformação linear;
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y) = (2x-3y,\; 4x,\; -5y+1).
A tarefa é classificar a afirmação “T é uma transformação linear” como verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
Passo 2
Lembrete importante sobre o que significa “transformação linear” (vamos mastigar bem isso): uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente as propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Uma consequência imediata dessas propriedades é que o vetor nulo deve ser preservado: se aplicarmos a linearidade com c=0 ou usando u=v=0, obtemos
T(0)=0.
Portanto, um teste rápido: se T(0)\neq 0, então T não pode ser linear.
Passo 3
Calcular T no vetor nulo (0,0). Peguei a fórmula de T do enunciado e substituí x=0 e y=0:
Como (0,0,1) não é o vetor nulo (0,0,0), temos T(0,0)\neq 0. Pelas propriedades da linearidade, isso já é suficiente para concluir que T não é linear.
Passo 4
Para ficar ainda mais claro — e ter um contraexemplo direto que dá gosto de ver na prova — verifico a homogeneidade com um vetor simples. Escolho v=(1,0) e o escalar 2. Primeiro computo T(1,0) (peguei a fórmula do enunciado):
Os dois resultados não coincidem (o último componente é 1 em T(2,0) e 2 em 2\,T(1,0)), logo a propriedade T(2v)=2T(v) falha. Isso confirma, com um exemplo concreto, que T não é linear.
Passo 5
Observação útil tipo dica de prova: a expressão de T pode ser escrita como soma de uma aplicação linear e um vetor constante (ou seja, é uma aplicação afim, não linear). Explicitando, peguei os coeficientes com relação a x,y e o termo independente:
Como o termo constante b é não nulo, T é uma transformação afim (ou seja, matriz mais vetor), mas não é linear. Na prova, essa é uma verificação rápida: procurar termos constantes não multiplicados por x ou y.]