[2,0] Dado um operador T: \mathbb{R}^{9} \rightarrow \mathbb{R}^{9} com o polinömio característico P_{T}(\lambda)=(-1-\lambda)^{4}(2-\lambda)^{3}(7-\lambda)^{2} e com os subespaços próprios Aut.i (-1)=\left[v_{1}, v_{2}\right], \operatorname{Aut}_{T}(2)=\left[u_{1}, u_{2}\right], \operatorname{Aut}_{T}(7)=[w], sendo \left\{v_{1}, v_{2}, u_{1}, u_{2}, w\right\} um conjunto de vetores de \mathbb{R}^{9} linearmente independentes, determine as possiveis formas canônicas de Jordan de T_{i} Justifique suas afirmaçōes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o polinômio característico
P_{T}(\lambda)=(-1-\lambda)^{4}(2-\lambda)^{3}(7-\lambda)^{2}.
  • Portanto os autovalores e suas multiplicidades algébricas são:
    • \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 4.
    • \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
    • \lambda=7 com multiplicidade algébrica 2.
  • Os subespaços próprios (e portanto as dimensões das eigenspaces) são dados:
    • \operatorname{Aut}_{T}(-1)=\left[v_{1},v_{2}\right], logo \dim \operatorname{Aut}_{T}(-1)=2.
    • \operatorname{Aut}_{T}(2)=\left[u_{1},u_{2}\right], logo \dim \operatorname{Aut}_{T}(2)=2.
    • \operatorname{Aut}_{T}(7)=[w], logo \dim \operatorname{Aut}_{T}(7)=1.
  • Informam também que \{v_{1},v_{2},u_{1},u_{2},w\} é um conjunto de vetores linearmente independentes (confirma que as dimensões acima são pelo menos aquelas listadas).
O que o enunciado pede:
  • Determinar as possíveis formas canônicas de Jordan de T (ou seja, os possíveis blocos de Jordan que compõem a forma de Jordan de T), justificando as afirmações.

Passo 2

Conceitos e regra-chave que vou usar (explicação didática):
  • Multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é o expoente de (\lambda-\lambda_0) no polinômio característico; é o tamanho total (soma dos tamanhos) dos blocos de Jordan associados a \lambda.
  • Multiplicidade geométrica de \lambda é \dim do espaço próprio \operatorname{Aut}_T(\lambda); ela é igual ao número de blocos de Jordan (quantos blocos) que aparecem para o autovalor \lambda.
    • Intuição simples: cada bloco de Jordan precisa de um vetor próprio “inicial” (um gerador de cadeia de Jordan); esses vetores próprios são linearmente independentes e formam base do espaço próprio; assim número de blocos = dimensão do espaço próprio.
  • Portanto, para cada autovalor \lambda:
    • O número de blocos de Jordan é fixado e igual a \dim \operatorname{Aut}_T(\lambda).
    • Os tamanhos dos blocos são inteiros positivos cuja soma é a multiplicidade algébrica.
  • Assim o problema reduz-se, para cada autovalor, a dividir a multiplicidade algébrica em um número fixo de partes positivas (partição), onde o número de partes é a multiplicidade geométrica.
Exemplo rápido (pequeno exercício mental): se multiplicidade algébrica é 4 e multiplicidade geométrica é 2, então precisamos escrever 4 como soma de 2 inteiros positivos; as opções são 4=3+1 ou 4=2+2.

Passo 3

Aplicando a regra ao autovalor \lambda=-1.
  • Dados: multiplicidade algébrica =4, multiplicidade geométrica =2.
  • Logo o número de blocos de Jordan associados a -1 é 2.
  • Precisamos partir 4 em 2 inteiros positivos. Possibilidades:
    • 4=3+1, que corresponde a blocos J_{3}(-1) e J_{1}(-1).
    • 4=2+2, que corresponde a blocos J_{2}(-1) e J_{2}(-1).
  • Não há outras possibilidades porque as únicas partições de 4 em exatamente 2 partes positivas são essas duas.
  • Observação prática: J_{1}(-1) é apenas um bloco 1\times1 igual a [-1]; J_{k}(-1) é um bloco k\times k com -1 na diagonal e 1 na superdiagonal.

Passo 4

Aplicando a regra ao autovalor \lambda=2.
  • Dados: multiplicidade algébrica =3, multiplicidade geométrica =2.
  • Número de blocos = 2. Particionar 3 em 2 partes positivas: únicas possibilidade é
    • 3=2+1.
  • Portanto os blocos para \lambda=2 são obrigatoriamente J_{2}(2) e J_{1}(2).
  • Não há outra opção porque 1+2 é a mesma partição (ordem dos blocos não importa).

Passo 5

Aplicando a regra ao autovalor \lambda=7.
  • Dados: multiplicidade algébrica =2, multiplicidade geométrica =1.
  • Número de blocos = 1. Particionar 2 em 1 parte positiva só dá
    • 2.
  • Portanto o único bloco para \lambda=7 é J_{2}(7) (um bloco Jordan de ordem 2 com autovalor 7).

Passo 6

Combinação das escolhas para obter as formas canônicas de Jordan inteiras.
  • Para \lambda=2 e \lambda=7 não há ambiguidade: os blocos são sempre J_{2}(2)\oplus J_{1}(2) e J_{2}(7).
  • Para \lambda=-1 temos duas alternativas (vista no Passo 3). Assim existem exatamente duas formas canônicas de Jordan possíveis para T, que são as combinações direta- soma dos blocos correspondentes.
Vou escrever as duas opções explicitamente (a ordem dos blocos na diagonal não importa):
Opção A (caso 4=3+1 para -1):
J = J_{3}(-1)\oplus J_{1}(-1)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(7).
Opção B (caso 4=2+2 para -1):
J = J_{2}(-1)\oplus J_{2}(-1)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(7).
  • Verificação de consistência de dimensão: somando as ordens dos blocos em cada opção dá 3+1+2+1+2=9 e 2+2+2+1+2=9 respectivamente, que coincide com \dim \mathbb{R}^{9}=9. Boa!
  • Minimal polynomial (informação útil, derivada do maior tamanho de bloco por autovalor):
    • Para a Opção A: maiores ordens por autovalor são 3 para -1, 2 para 2, 2 para 7; então m_{T}(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda-7)^{2}.
    • Para a Opção B: maiores ordens são 2 para -1, 2 para 2, 2 para 7; então m_{T}(\lambda)=(\lambda+1)^{2}(\lambda-2)^{2}(\lambda-7)^{2}.

Passo 7

Justificativa final e observações:
  • A razão de só existirem as opções listadas é a regra rígida: número de blocos = dimensão do espaço próprio; soma dos tamanhos dos blocos = multiplicidade algébrica. Essas duas condições determinam as partições possíveis de cada multiplicidade algébrica.
  • O dado de independência linear de \{v_{1},v_{2},u_{1},u_{2},w\} confirma as dimensões geométricas fornecidas e impede que haja mais blocos do que esses vetores permitem.
  • Concluímos então que não existem outras formas de Jordan possíveis além das duas apresentadas.

Resposta

J = J_{3}(-1)\oplus J_{1}(-1)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(7),\quad m_{T}(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda-7)^{2}.
J = J_{2}(-1)\oplus J_{2}(-1)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(7),\quad m_{T}(\lambda)=(\lambda+1)^{2}(\lambda-2)^{2}(\lambda-7)^{2}.

Exercícios relacionados