[2,0] Dado um operador
com o polinömio característico
e com os subespaços próprios Aut.i
,
, sendo
um conjunto de vetores de
linearmente independentes, determine as possiveis formas canônicas de Jordan de
Justifique suas afirmaçōes.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado o polinômio característico
- Portanto os autovalores e suas multiplicidades algébricas são:
-
com multiplicidade algébrica . -
com multiplicidade algébrica . -
com multiplicidade algébrica .
-
- Os subespaços próprios (e portanto as dimensões das eigenspaces) são dados:
-
, logo . -
, logo . -
, logo .
-
- Informam também que
é um conjunto de vetores linearmente independentes (confirma que as dimensões acima são pelo menos aquelas listadas).
O que o enunciado pede:
- Determinar as possíveis formas canônicas de Jordan de
(ou seja, os possíveis blocos de Jordan que compõem a forma de Jordan de ), justificando as afirmações.
Passo 2
Conceitos e regra-chave que vou usar (explicação didática):
- Multiplicidade algébrica de um autovalor
é o expoente de no polinômio característico; é o tamanho total (soma dos tamanhos) dos blocos de Jordan associados a . - Multiplicidade geométrica de
é do espaço próprio ; ela é igual ao número de blocos de Jordan (quantos blocos) que aparecem para o autovalor . - Intuição simples: cada bloco de Jordan precisa de um vetor próprio “inicial” (um gerador de cadeia de Jordan); esses vetores próprios são linearmente independentes e formam base do espaço próprio; assim número de blocos = dimensão do espaço próprio.
- Portanto, para cada autovalor
: - O número de blocos de Jordan é fixado e igual a
. - Os tamanhos dos blocos são inteiros positivos cuja soma é a multiplicidade algébrica.
- O número de blocos de Jordan é fixado e igual a
- Assim o problema reduz-se, para cada autovalor, a dividir a multiplicidade algébrica em um número fixo de partes positivas (partição), onde o número de partes é a multiplicidade geométrica.
Exemplo rápido (pequeno exercício mental): se multiplicidade algébrica é
e multiplicidade geométrica é
, então precisamos escrever
como soma de
inteiros positivos; as opções são
ou
.
Passo 3
Aplicando a regra ao autovalor
.
- Dados: multiplicidade algébrica
, multiplicidade geométrica . - Logo o número de blocos de Jordan associados a
é . - Precisamos partir
em inteiros positivos. Possibilidades: -
, que corresponde a blocos e . -
, que corresponde a blocos e .
-
- Não há outras possibilidades porque as únicas partições de
em exatamente partes positivas são essas duas. - Observação prática:
é apenas um bloco igual a ; é um bloco com na diagonal e na superdiagonal.
Passo 4
Aplicando a regra ao autovalor
.
- Dados: multiplicidade algébrica
, multiplicidade geométrica . - Número de blocos =
. Particionar em partes positivas: únicas possibilidade é -
.
-
- Portanto os blocos para
são obrigatoriamente e . - Não há outra opção porque
é a mesma partição (ordem dos blocos não importa).
Passo 5
Aplicando a regra ao autovalor
.
- Dados: multiplicidade algébrica
, multiplicidade geométrica . - Número de blocos =
. Particionar em parte positiva só dá -
.
-
- Portanto o único bloco para
é (um bloco Jordan de ordem com autovalor ).
Passo 6
Combinação das escolhas para obter as formas canônicas de Jordan inteiras.
- Para
e não há ambiguidade: os blocos são sempre e . - Para
temos duas alternativas (vista no Passo 3). Assim existem exatamente duas formas canônicas de Jordan possíveis para , que são as combinações direta- soma dos blocos correspondentes.
Vou escrever as duas opções explicitamente (a ordem dos blocos na diagonal não importa):
Opção A (caso
para
):
Opção B (caso
para
):
- Verificação de consistência de dimensão: somando as ordens dos blocos em cada opção dá
e respectivamente, que coincide com . Boa! - Minimal polynomial (informação útil, derivada do maior tamanho de bloco por autovalor):
- Para a Opção A: maiores ordens por autovalor são
para , para , para ; então - Para a Opção B: maiores ordens são
para , para , para ; então
- Para a Opção A: maiores ordens por autovalor são
Passo 7
Justificativa final e observações:
- A razão de só existirem as opções listadas é a regra rígida: número de blocos = dimensão do espaço próprio; soma dos tamanhos dos blocos = multiplicidade algébrica. Essas duas condições determinam as partições possíveis de cada multiplicidade algébrica.
- O dado de independência linear de
confirma as dimensões geométricas fornecidas e impede que haja mais blocos do que esses vetores permitem. - Concluímos então que não existem outras formas de Jordan possíveis além das duas apresentadas.