Se |A(t)| representa a norma de A(t), mostre que
dd t|A(t)|=A(t) cdot A^prime(t)|A(t)|
em que cdot representa o Produto Interno.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um vetor função A(t), vale
ddt|A(t)| ;=;A(t)cdot A'(t)|A(t)|,
onde |cdot| é a norma induzida pelo produto interno e A'(t)=ddtA(t).
Para isso, vamos usar:
  1. A expressão da norma em termos do produto interno.
  2. A regra da cadeia para derivadas.
  3. A linearidade (produto) do produto interno.

Passo 2

Observe que
|A(t)| ;=;raizA(t)cdot A(t)
Definimos
g(t) = A(t)cdot A(t), h(x)=raizx=x^1/2,
de modo que |A(t)| = hl(g(t)r).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
ddt|A(t)| =;h'l(g(t)r),cdot,g'(t)
Como
h'(x)=12,x^-1/2=12raizx,
temos
h'l(g(t)r) =12raizg(t) =12|A(t)|,
portanto
ddt|A(t)| =12|A(t)|;g'(t)

Passo 4

Agora calcule g'(t). Usando que o produto interno é bilinear e simétrico,
g(t)=A(t)cdot A(t) Longrightarrow g'(t) =ddtl(Acdot Ar) =A'(t)cdot A(t)+A(t)cdot A'(t) =2,l(A(t)cdot A'(t)r)

Passo 5

Substituindo g'(t) em ddt|A(t)|, obtemos
ddt|A(t)| =12|A(t)|;2,l(A(t)cdot A'(t)r) =A(t)cdot A'(t)|A(t)|

Resposta

ddt|A(t)| =A(t)cdot A'(t)|A(t)|

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