Se
representa a norma de
, mostre que
em que
representa o Produto Interno.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um vetor função
, vale
onde
é a norma induzida pelo produto interno e
.
Para isso, vamos usar:
Para isso, vamos usar:
- A expressão da norma em termos do produto interno.
- A regra da cadeia para derivadas.
- A linearidade (produto) do produto interno.
Passo 2
Observe que
Definimos
de modo que
.
Passo 3
Pela regra da cadeia,
Como
temos
portanto
Passo 4
Agora calcule
. Usando que o produto interno é bilinear e simétrico,
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos