Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+3 x y^{2} z^{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y^2z^3,i+2xyz^3,j+3xy^2z^2,k
e pede para verificar se ele é conservativo. O conteúdo é cálculo vetorial em R^3: usamos que, em domínio simplesmente conexo, F é conservativo se e somente se
nablatimesF=0
Se for, buscamos uma função potencial f tal que nabla f=F.

Passo 2

Calculamos o rotacional
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz y^2z^3&2xyz^3&3xy^2z^2
Componentes:
(nablatimesF)x =partialpartial y(3xy^2z^2) -partialpartial z(2xyz^3) =6xyz^2-6xyz^2=0,
(nablatimesF)y =-l(partialpartial x(3xy^2z^2) -partialpartial z(y^2z^3)r) =-(3y^2z^2-3y^2z^2)=0,
(nablatimesF)z =partialpartial x(2xyz^3) -partialpartial y(y^2z^3) =2yz^3-2yz^3=0
Logo nablatimesF=0, e como o domínio é todo R^3, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) com
partial fpartial x=y^2z^3
Integramos em x:
f(x,y,z)=integral y^2z^3,dx =xy^2z^3+g(y,z),
onde g é “constante” em relação a x.

Passo 4

Impondo
partial fpartial y =2xyz^3
temos
partialpartial yl(xy^2z^3+g(y,z)r) =2xyz^3+partial gpartial y stackrel!=2xyz^3,
logo partial g/partial y=0. Assim g(y,z)=h(z).

Passo 5

Finalmente, de
partial fpartial z =3xy^2z^2
vemos
partialpartial zl(xy^2z^3+h(z)r) =3xy^2z^2+h'(z) stackrel!=3xy^2z^2,
logo h'(z)=0, i.e.\ h(z)=C (constante).

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=x,y^2z^3+C,
pois nabla f=F.

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