1{ }^{\text {a }} Questão:

A refinaria de petróleo CAP S/A, situada na cidade de Ouro Branco - MG produz três tipos de gasolina: GC001(Comum), GA002 (Aditivada) e a GP003 (Premium). Cada tipo de gasolina pode ser produzido a partir da mistura de quatro tipos de petróleo: P1BR, P2BR, P3BR, P4BR.
Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
  • Um litro de gasolina GC001 requer, no mínimo, 0,18 litros de octano e 0,18 litros de benzeno;
  • Um litro de gasolina GA002 requer, no mínimo, 0,25 litros de octano e 0,18 litros de benzeno;
  • Um litro de gasolina GP003 requer, no mínimo, 0,28 litros de octano e 0,22 litros de benzeno.
As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
  • Um litro do petróleo P1BR contém uma taxa de 0,20 de octano e 0,25 de benzeno;
  • Um litro do petróleo P2BR contém uma taxa de 0,30 de octano e 0,20 de benzeno;
  • Um litro do petróleo P3BR contém uma taxa de 0,15 de octano e 0,30 de benzeno;
  • Um litro do petróleo P4BR contém uma taxa de 0,40 de octano e 0,15 de benzeno.
Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12000 litros de gasolina GC001, 10000 de GA002 e 8000 de GP003. A refinaria tem uma capacidade máxima de produção de 60000 litros por dia de gasolina e pode comprar, até 15000 litros de cada tipo de petróleo diariamente.
Cada litro de gasolina GC001, GA002 e GP003, dá uma margem de contribuição unitária de R$ 0,40, \mathrm{R} \0,45 e R\0,50 , respectivamente. Os preços de compra por litro de petróleo P1BR, P2BR, P3BR e P4BR são, respectivamente R$ 0,20; R$0,25 ; R$ 0,30 e R$ 0,30 . Formule o problema de programação linear de forma a maximizar a margem diária de contribuição. Resolver computacionalmente usando o SOLVER, indicar a quantidade de cada produto e o Lucro Máximo. Faça uma análise sensibilidade (pós-otimização), do problema, mostrando e comentando quais variações (acréscimos e decréscimos permissíveis), podem ser toleradas, mantendo ainda assim a otimalidade do modelo.

Passo 1

O problema é de mistura de insumos (petrolêos P1BR, P2BR, P3BR, P4BR) para atender demandas fixas diárias de 12000 L de GC001, 10000 L de GA002 e 8000 L de GP003, respeitando limites de compra (≤15000 L de cada petróleo) e especificações mínimas de octano e benzeno por litro de cada gasolina. Vamos formular um programa linear em que x_{ij} é o volume (em litros) do petróleo i usado na gasolina j, montar as restrições de balanço, octano e benzeno, o limite de compra de cada petróleo, e maximizar a margem de contribuição líquida (margem de venda menos custo de petróleo).

Passo 2

Definimos
x_{ij}\ge0,\quad i=1,\ldots,4,\;j=1,2,3
onde j=1 é GC001, j=2 é GA002 e j=3 é GP003. As restrições são:
  1. Balanço de volume (demandas fixas):
\sum_{i=1}^{4}x_{i1}=12000,\quad \sum_{i=1}^{4}x_{i2}=10000,\quad \sum_{i=1}^{4}x_{i3}=8000.
  1. Especificação de octano:
0{,}20\,x_{11}+0{,}30\,x_{21}+0{,}15\,x_{31}+0{,}40\,x_{41}\ge0{,}18\cdot12000,
0{,}20\,x_{12}+0{,}30\,x_{22}+0{,}15\,x_{32}+0{,}40\,x_{42}\ge0{,}25\cdot10000,
0{,}20\,x_{13}+0{,}30\,x_{23}+0{,}15\,x_{33}+0{,}40\,x_{43}\ge0{,}28\cdot8000.
  1. Especificação de benzeno:
0{,}25\,x_{11}+0{,}20\,x_{21}+0{,}30\,x_{31}+0{,}15\,x_{41}\ge0{,}18\cdot12000,
0{,}25\,x_{12}+0{,}20\,x_{22}+0{,}30\,x_{32}+0{,}15\,x_{42}\ge0{,}18\cdot10000,
0{,}25\,x_{13}+0{,}20\,x_{23}+0{,}30\,x_{33}+0{,}15\,x_{43}\ge0{,}22\cdot8000.
  1. Limite de compra de cada petróleo i:
\sum_{j=1}^{3}x_{ij}\le15000,\quad i=1,\dots,4.
O custo de compra é 0{,}20x_{1j}+0{,}25x_{2j}+0{,}30x_{3j}+0{,}30x_{4j}. A margem de contribuição de cada litro de gasolina j é m_1=0{,}40, m_2=0{,}45, m_3=0{,}50. O lucro líquido total é
\sum_{j=1}^{3}m_j\Bigl(\sum_{i}x_{ij}\Bigr)\;-\;\sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^3\text{custo}_i\,x_{ij}.
Como as demandas são fixas, a parte \sum_j m_j\sum_i x_{ij} =0{,}40\cdot12000+0{,}45\cdot10000+0{,}50\cdot8000 é constante; minimizamos portanto o custo de petróleo sujeito às especificações, o que equivale a maximizar o lucro.

Passo 3

Para GC001 ( j=1) a especificação mínima é octano 0,18 e benzeno 0,18. O petróleo mais barato é P1BR ( c=0,20) e já satisfaz ambas as especificações ( 0,20\ge0,18, 0,25\ge0,18). Logo a mistura ótima é
x_{11}=12000,\quad x_{21}=x_{31}=x_{41}=0.
Para GA002 ( j=2) a especificação é octano 0,25 e benzeno 0,18. O único petróleo que sozinho cumpre ambas é P2BR ( 0{,}30\ge0{,}25,\;0{,}20\ge0{,}18) com custo 0,25. Logo
x_{22}=10000,\quad x_{12}=x_{32}=x_{42}=0.

Passo 4

Para GP003 ( j=3) exigem-se octano 0,28 e benzeno 0,22. Nenhum petróleo sozinho satisfaz. Resolvendo o sub-bloco de mistura (variáveis fracionárias f_i, \sum f_i=1) por vértice ativo das duas restrições, obtemos
f_2=0{,}20,\;f_3=0{,}40,\;f_4=0{,}40,\;f_1=0,
com custo unitário de 0,29. Em litros:
x_{23}=0{,}20\cdot8000=1600,\; x_{33}=0{,}40\cdot8000=3200,\; x_{43}=3200,\; x_{13}=0.

Passo 5

Verificando limites de compra temos
\sum_j x_{1j}=12000\le15000,\;\sum_j x_{2j}=10000+1600=11600\le15000,
\sum_j x_{3j}=3200\le15000,\;\sum_j x_{4j}=3200\le15000.
O lucro bruto das vendas é
0{,}40\cdot12000+0{,}45\cdot10000+0{,}50\cdot8000=4800+4500+4000=13300.
O custo total dos petróleos é
0{,}20\cdot12000+0{,}25\cdot11600+0{,}30\cdot3200+0{,}30\cdot3200 =2400+2900+960+960=7220.
Logo a margem líquida máxima é
13300-7220=\mathbf{6080}\text{ (R\$ por dia).}

Passo 6

Análise de sensibilidade qualitativa:
  • Para GC001, a mistura é pura P1BR; se o preço de P1BR subir até R$0,25 (ou seja, +R$ 0,05), ainda será mais barato que usar P2BR (custo 0,25). Acima de 0,25 troca-se para P2BR.
  • Para GA002, só P2BR cumpre as especificações, portanto sua faixa de variação de custo é ampla antes de violar a otimalidade.
  • Para GP003, a mistura ativa usa P2, P3 e P4; se o custo de P2BR subir além de R$ 0,29, ou o de P3/P4 descer muito, a composição ótima muda. A variação exata pode ser obtida do solver (allowable increase/decrease).
  • As duas restrições de octano e benzeno de GP003 estão ativas, então pequenas alterações nos requisitos de octano (0,28) ou benzeno (0,22) afetariam diretamente o custo ótimo.
  • Todas as demais restrições de compra e as especificações de GC001 e GA002 estavam com folga (“slack”) e portanto seus preços sombra são zero, indicando que pequenas variações nelas não alteram a solução.

Resposta

x_{11}=12000, x_{21}=x_{31}=x_{41}=0
x_{22}=10000, x_{12}=x_{32}=x_{42}=0
x_{23}=1600, x_{33}=3200, x_{43}=3200, x_{13}=0
Lucro máximo diário = R$ 6080.

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