Questão:
A refinaria de petróleo CAP S/A, situada na cidade de Ouro Branco - MG produz três tipos de gasolina: GC001(Comum), GA002 (Aditivada) e a GP003 (Premium). Cada tipo de gasolina pode ser produzido a partir da mistura de quatro tipos de petróleo: P1BR, P2BR, P3BR, P4BR.
Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
- Um litro de gasolina GC001 requer, no mínimo, 0,18 litros de octano e 0,18 litros de benzeno;
- Um litro de gasolina GA002 requer, no mínimo, 0,25 litros de octano e 0,18 litros de benzeno;
- Um litro de gasolina GP003 requer, no mínimo, 0,28 litros de octano e 0,22 litros de benzeno.
As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
- Um litro do petróleo P1BR contém uma taxa de 0,20 de octano e 0,25 de benzeno;
- Um litro do petróleo P2BR contém uma taxa de 0,30 de octano e 0,20 de benzeno;
- Um litro do petróleo P3BR contém uma taxa de 0,15 de octano e 0,30 de benzeno;
- Um litro do petróleo P4BR contém uma taxa de 0,40 de octano e 0,15 de benzeno.
Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12000 litros de gasolina GC001, 10000 de GA002 e 8000 de GP003. A refinaria tem uma capacidade máxima de produção de 60000 litros por dia de gasolina e pode comprar, até 15000 litros de cada tipo de petróleo diariamente.
Cada litro de gasolina GC001, GA002 e GP003, dá uma margem de contribuição unitária de R$
0,45
0,50 , respectivamente. Os preços de compra por litro de petróleo P1BR, P2BR, P3BR e P4BR são, respectivamente R$ 0,20; R$0,25 ; R$ 0,30 e R$ 0,30 . Formule o problema de programação linear de forma a maximizar a margem diária de contribuição. Resolver computacionalmente usando o SOLVER, indicar a quantidade de cada produto e o Lucro Máximo. Faça uma análise sensibilidade (pós-otimização), do problema, mostrando e comentando quais variações (acréscimos e decréscimos permissíveis), podem ser toleradas, mantendo ainda assim a otimalidade do modelo.
Passo 1
O problema é de mistura de insumos (petrolêos P1BR, P2BR, P3BR, P4BR) para atender demandas fixas diárias de 12000 L de GC001, 10000 L de GA002 e 8000 L de GP003, respeitando limites de compra (≤15000 L de cada petróleo) e especificações mínimas de octano e benzeno por litro de cada gasolina. Vamos formular um programa linear em que
é o volume (em litros) do petróleo
usado na gasolina
, montar as restrições de balanço, octano e benzeno, o limite de compra de cada petróleo, e maximizar a margem de contribuição líquida (margem de venda menos custo de petróleo).
Passo 2
Definimos
onde
é GC001,
é GA002 e
é GP003. As restrições são:
- Balanço de volume (demandas fixas):
- Especificação de octano:
- Especificação de benzeno:
- Limite de compra de cada petróleo
:
O custo de compra é
. A margem de contribuição de cada litro de gasolina
é
,
,
. O lucro líquido total é
Como as demandas são fixas, a parte
é constante; minimizamos portanto o custo de petróleo sujeito às especificações, o que equivale a maximizar o lucro.
Passo 3
Para GC001 (
) a especificação mínima é octano 0,18 e benzeno 0,18. O petróleo mais barato é P1BR (
) e já satisfaz ambas as especificações (
,
). Logo a mistura ótima é
Para GA002 (
) a especificação é octano 0,25 e benzeno 0,18. O único petróleo que sozinho cumpre ambas é P2BR (
) com custo 0,25. Logo
Passo 4
Para GP003 (
) exigem-se octano 0,28 e benzeno 0,22. Nenhum petróleo sozinho satisfaz. Resolvendo o sub-bloco de mistura (variáveis fracionárias
,
) por vértice ativo das duas restrições, obtemos
com custo unitário de
. Em litros:
Passo 5
Verificando limites de compra temos
O lucro bruto das vendas é
O custo total dos petróleos é
Logo a margem líquida máxima é
Passo 6
Análise de sensibilidade qualitativa:
- Para GC001, a mistura é pura P1BR; se o preço de P1BR subir até R$0,25 (ou seja, +R$ 0,05), ainda será mais barato que usar P2BR (custo 0,25). Acima de 0,25 troca-se para P2BR.
- Para GA002, só P2BR cumpre as especificações, portanto sua faixa de variação de custo é ampla antes de violar a otimalidade.
- Para GP003, a mistura ativa usa P2, P3 e P4; se o custo de P2BR subir além de R$ 0,29, ou o de P3/P4 descer muito, a composição ótima muda. A variação exata pode ser obtida do solver (allowable increase/decrease).
- As duas restrições de octano e benzeno de GP003 estão ativas, então pequenas alterações nos requisitos de octano (0,28) ou benzeno (0,22) afetariam diretamente o custo ótimo.
- Todas as demais restrições de compra e as especificações de GC001 e GA002 estavam com folga (“slack”) e portanto seus preços sombra são zero, indicando que pequenas variações nelas não alteram a solução.
Resposta
x_{11}=12000, x_{21}=x_{31}=x_{41}=0
x_{22}=10000, x_{12}=x_{32}=x_{42}=0
x_{23}=1600, x_{33}=3200, x_{43}=3200, x_{13}=0
Lucro máximo diário = R$ 6080.
x_{22}=10000, x_{12}=x_{32}=x_{42}=0
x_{23}=1600, x_{33}=3200, x_{43}=3200, x_{13}=0
Lucro máximo diário = R$ 6080.