4" OUESTÃO (VALOR = 10,0 pontos)
Um recipiente está dividido em dois compartimentos iguais. Um deles tem 3,0 mols de \mathrm{H}_{2}, a 25^{\circ} \mathrm{C}; o outro tem 1,0 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2}, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a energia de Gibbs de mistura ( \Delta_{\text {mist }} \mathrm{G} ), a entropia \left(\Delta_{\text {mist }} S\right) e a Entalpia \left(\Delta_{\text {mist }} H\right) de mistura quando se remove a separação entre os dois compartimentos. Admita que o comportamento dos gases seja o de gás perfeito.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficarmos focados):
  • Dados do sistema:
    • Recipiente dividido em dois compartimentos iguais (mesmo volume cada).
    • Um compartimento contém 3{,}0 mol de \mathrm{H}_2 à 25^\circ\mathrm{C}.
    • O outro contém 1{,}0 mol de \mathrm{N}_2 à 25^\circ\mathrm{C}.
    • Assume-se comportamento de gás perfeito para ambas as espécies.
  • O que é pedido:
    • Calcular a energia de Gibbs de mistura \Delta_{\text{mist}} G.
    • Calcular a entropia de mistura \Delta_{\text{mist}} S.
    • Calcular a entalpia de mistura \Delta_{\text{mist}} H.
Observações úteis (dados numéricos que usaremos):
  • n_{\mathrm{H}_2}=3{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\mathrm{N}_2}=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\text{tot}}=n_{\mathrm{H}_2}+n_{\mathrm{N}_2}=4{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 2

Entendendo fisicamente o processo e qual fórmula usar (sem resolver ainda).
  • Quando a separação é removida, cada gás passa a poder ocupar o volume total do recipiente. Como os compartimentos eram iguais, cada gás passa de um volume inicial V_i (metade do total) para um volume final V_f (o volume total). Logo, para cada espécie o fator de expansão é \frac{V_f}{V_i}=2.
  • A entropia é uma função de estado; podemos calcular a variação total de entropia como a soma das variações de entropia de cada gás ao passar de seu estado separado para o estado misturado. Para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal a partir de volume V_i até V_f, a variação de entropia do componente é \Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Aplicando isso a cada gás e somando, teremos \Delta_{\text{mist}}S.
  • Para gases ideais, a entalpia depende apenas da temperatura (não da composição). Como o processo é isoterma (temperatura constante) e não há troca de calor que altere temperatura, a variação de entalpia associada à mistura ideal é \Delta_{\text{mist}}H = 0.Vou explicar isso em mais detalhe no passo específico.
  • A energia livre de Gibbs da mistura segue da relação termodinâmica \Delta_{\text{mist}}G = \Delta_{\text{mist}}H - T\,\Delta_{\text{mist}}S.Como \Delta_{\text{mist}}H=0 para gases ideais, teremos \Delta_{\text{mist}}G = -T\,\Delta_{\text{mist}}S.

Passo 3

Cálculo detalhado da variação de entropia \Delta_{\text{mist}}S (passo-a-passo).
  • Aplicamos a fórmula para cada gás: \Delta S_{\mathrm{H}_2} = n_{\mathrm{H}_2} R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
\Delta S_{\mathrm{N}_2} = n_{\mathrm{N}_2} R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como \dfrac{V_f}{V_i}=2 para ambos, \Delta_{\text{mist}}S = \Delta S_{\mathrm{H}_2} + \Delta S_{\mathrm{N}_2} = (n_{\mathrm{H}_2}+n_{\mathrm{N}_2})\,R\,\ln 2.Em termos simbólicos: \Delta_{\text{mist}}S = n_{\text{tot}}\,R\,\ln 2.Aqui:
    • n_{\text{tot}} é o número total de mols após mistura.
    • R é a constante dos gases.
    • \ln 2 vem do fator de expansão igual a 2.

Passo 4

Substituição numérica para \Delta_{\text{mist}}S (contas claras, sem pular etapas).
  • Primeiro calculemos R\ln 2: \ln 2 \approx 0{,}693147\quad\Rightarrow\quad R\ln 2 = 8{,}314\cdot 0{,}693147 \approx 5{,}765\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Agora multiplica-se por n_{\text{tot}}=4{,}0\\ \mathrm{mol}: \Delta_{\text{mist}}S = 4{,}0\cdot 5{,}765\\ \mathrm{J\,K^{-1}} \approx 23{,}06\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.(Arredondei mantendo três algarismos significativos, coerente com os dados do problema.)

Passo 5

Justificativa e cálculo da variação de entalpia \Delta_{\text{mist}}H.
  • Para um gás ideal a temperatura T fixa, a entalpia molar depende apenas de T, isto é H = H(T). Portanto, misturar gases perfeitos sem trocas de calor que alterem T não muda a entalpia total: \Delta_{\text{mist}}H = 0.
  • Assim, numericamente: \Delta_{\text{mist}}H = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo da energia de Gibbs de mistura \Delta_{\text{mist}}G usando \Delta G = \Delta H - T\Delta S.
  • Como \Delta_{\text{mist}}H=0, temos \Delta_{\text{mist}}G = -T\,\Delta_{\text{mist}}S.
  • Substituindo T=298{,}15\\ \mathrm{K} e \Delta_{\text{mist}}S\approx 23{,}06\\ \mathrm{J\,K^{-1}}: \Delta_{\text{mist}}G = -298{,}15\cdot 23{,}06\\ \mathrm{J} \approx -6{,}88\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.Convertendo para kJ: \Delta_{\text{mist}}G \approx -6{,}88\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

\Delta_{\text{mist}}G \approx -6{,}88\\ \mathrm{kJ}
\Delta_{\text{mist}}S \approx 23{,}06\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta_{\text{mist}}H = 0\\ \mathrm{J}

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