Calcule a concentração de todas as espécies químicas presentes na solução contendo 0,01 mols de \mathrm{AgNO}_{3} e 2,00 mols de \mathrm{NH}_{3} dissolvidos em 1 litro de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.
\mathrm{Ag}^{+}+2 \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right]^{+}
\left[\mathrm{Ag}^{+}\right] \approx 1,5 \times 10^{-10} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
\left.\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right]^{+}\right] \approx 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
\left[\mathrm{NH}_{3}\right] \approx 1,98 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede as concentrações em solução aquosa que contém 0,01 mol de \mathrm{AgNO}_3 e 2,00 mol de \mathrm{NH}_3 em 1 litro de água, para o equilíbrio
\mathrm{Ag}^{+} + 2\,\mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \left[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2\right]^+ .
Dados iniciais fornecidos (convertidos para concentrações porque o volume é 1 L):
[\mathrm{Ag}]_{\text{total}} = 0,01\\ \mathrm{mol/L},\qquad [\mathrm{NH}_3]_{\text{inicial}} = 2,00\\ \mathrm{mol/L}.
O que se pede: as concentrações de todas as espécies presentes em equilíbrio, ou seja [\mathrm{Ag}^+], [\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] e [\mathrm{NH}_3].

Passo 2

Explico o que é a constante de formação (constante de equilíbrio do complexo). Para a reação
\mathrm{Ag}^{+} + 2\,\mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \left[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2\right]^+
definimos a constante de formação (também chamada \beta_2) por
\beta_2 = \frac{[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+]}{[\mathrm{Ag}^+]\,[\mathrm{NH}_3]^2}.
Aqui: [\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] é a concentração do complexo em equilíbrio, [\mathrm{Ag}^+] a do íon prata livre, e [\mathrm{NH}_3] a da amônia livre. Vou usar o valor tabulado (típico para o complexo diamina de prata):
\beta_2 = 1,7\times 10^{7}.
Esse valor é algo que se consulta em tabelas de constantes de formação; sem ele não dá para calcular numericamente.

Passo 3

Escrevo as equações de conservação (balanços de massa) que relacionam as concentrações:
  • balanço do prata:
[\mathrm{Ag}]_{\text{total}} = [\mathrm{Ag}^+] + [\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] = 0,01.
  • balanço da amônia (cada complexo consome 2 \mathrm{NH}_3):
[\mathrm{NH}_3]_{\text{inicial}} = [\mathrm{NH}_3] + 2\,[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] = 2,00.
Estas duas equações permitem escrever as quantidades em função de uma incógnita, por exemplo x=[\mathrm{Ag}^+]. Então
[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] = 0,01 - x,
[\mathrm{NH}_3] = 2,00 - 2(0,01 - x) = 1,98 + 2x.

Passo 4

Agora uso a expressão da constante de formação substituindo as expressões acima:
\beta_2 = \frac{0,01 - x}{x\,(1,98 + 2x)^2}.
Queremos resolver esta equação para x=[\mathrm{Ag}^+]. Observe que, porque \beta_2 é muito grande, o equilíbrio desloca-se quase totalmente para o complexo, então esperamos x muito pequeno. Assim podemos fazer a aproximação prática de desprezar o termo 2x dentro de [\mathrm{NH}_3] (porque 2x será da ordem de 10^{-10}, ou seja, desprezível frente a 1,98). Então aproximamos
[\mathrm{NH}_3]\approx 1,98.
Com essa aproximação a equação fica simples:
\beta_2 \approx \frac{0,01 - x}{x\,(1,98)^2}.
E, se x é muito pequeno comparado a 0,01, podemos ainda aproximar 0,01 - x \approx 0,01 na expressão do numerador. Assim:
\beta_2 \approx \frac{0,01}{x\,(1,98)^2}.

Passo 5

Isolo x e calculo numericamente com as aproximações:
x \approx \frac{0,01}{\beta_2\,(1,98)^2}.
Calculo passo a passo (tudo em notação numérica):
(1,98)^2 = 3,9204,
\beta_2\,(1,98)^2 = 1,7\times 10^{7}\times 3,9204 \approx 6,66468\times 10^{7},
x \approx \frac{0,01}{6,66468\times 10^{7}} \approx 1,5\times 10^{-10}\\ \mathrm{mol/L}.
Portanto
[\mathrm{Ag}^+] \approx 1,5\times 10^{-10}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Com [\mathrm{Ag}^+] encontrado, obtenho as outras concentrações pelo balanço de massa:
[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] = 0,01 - [\mathrm{Ag}^+] \approx 0,01 - 1,5\times 10^{-10}\approx 0,010\\ \mathrm{mol/L}.
[\mathrm{NH}_3] = 2,00 - 2\,[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+] \approx 2,00 - 2(0,010) = 1,98\\ \mathrm{mol/L}.
Se eu fizesse uma correção incluindo o pequeno x em [\mathrm{NH}_3]=1,98+2x, obteria 1,9800000003\\ \mathrm{mol/L}, ou seja, a diferença é ínfima e desprezível na prática. Também estamos supondo que a protonação de \mathrm{NH}_3 (formação de \mathrm{NH}_4^+) e a autoionização da água não alteram significativamente estas concentrações — suposição válida aqui porque [\mathrm{NH}_3] é muito grande e o complexo é muito estável.

Passo 7

Resumo final: a constante de formação elevada faz com que praticamente todo o \mathrm{Ag}^+ livre esteja no complexo \left[\mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2\right]^+; a concentração de \mathrm{Ag}^+ livre fica extremamente baixa, enquanto [\mathrm{NH}_3] diminui só ligeiramente pelo consumo na formação do complexo. Dá para usar estes passos na prova: escrever balanços, escrever \beta_2, aproximar quando a constante é grande e verificar a consistência da aproximação substituindo o valor obtido.

Resposta

[ \mathrm{Ag}^+ ] = 1,5\times 10^{-10}\\ \mathrm{mol/L}
[ \mathrm{Ag}(\mathrm{NH}_3)_2^+ ] = 0,010\\ \mathrm{mol/L}
[ \mathrm{NH}_3 ] = 1,98\\ \mathrm{mol/L}

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