Se |\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle e |\phi_{3}\rangle é uma base ortonormal e:
\begin{aligned} & |A\rangle=3 i\left|\phi_{1}\right\rangle-i\left|\phi_{2}\right\rangle+4\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & |B\rangle=5\left|\phi_{1}\right\rangle-4\left|\phi_{2}\right\rangle+2 i\left|\phi_{3}\right\rangle \end{aligned}
Determine:
a) \langle\mathrm{A}|
b) \langle B|
c) \langle A \mid B\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortonormal \left\{\,\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle,\left|\phi_{3}\right\rangle\,\right\} e os dois kets:
\left|A\right\rangle=3 i\left|\phi_{1}\right\rangle-i\left|\phi_{2}\right\rangle+4\left|\phi_{3}\right\rangle
\left|B\right\rangle=5\left|\phi_{1}\right\rangle-4\left|\phi_{2}\right\rangle+2 i\left|\phi_{3}\right\rangle
O que nos pedem:
a) \langle A| (o bra associado a \left|A\right\rangle);
b) \langle B| (o bra associado a \left|B\right\rangle);
c) \langle A\mid B\rangle (o produto interno entre \left|A\right\rangle e \left|B\right\rangle).

Passo 2

Regra importante (explicadinha): o bra \langle X| é o adjunto hermitiano do ket \left|X\right\rangle. Na prática, para passar de \left|X\right\rangle=\sum_{j} c_j \left|\phi_j\right\rangle para \langle X|=\sum_{j} c_j^{*}\langle\phi_j| faz-se:
  • troca \left|\phi_j\right\rangle por \langle\phi_j|;
  • complex conjugate (conjugar) todos os coeficientes c_j (substituir i por -i, etc.).
Exemplo rápido de conjugação: o conjugado de 3 i é -3 i; o conjugado de -i é i; de 4 é 4.

Passo 3

Aplicando a regra ao vetor \left|A\right\rangle:
\left|A\right\rangle=3 i\left|\phi_{1}\right\rangle - i\left|\phi_{2}\right\rangle + 4\left|\phi_{3}\right\rangle
os coeficientes conjugados são (3i)^{*}=-3i, (-i)^{*}=i, 4^{*}=4. Portanto
\langle A| = -3 i\langle\phi_{1}| + i\langle\phi_{2}| + 4\langle\phi_{3}|.

Passo 4

Agora para \left|B\right\rangle:
\left|B\right\rangle=5\left|\phi_{1}\right\rangle -4\left|\phi_{2}\right\rangle + 2 i\left|\phi_{3}\right\rangle
os coeficientes conjugados são 5^{*}=5, (-4)^{*}=-4, (2i)^{*}=-2i. Logo
\langle B| = 5\langle\phi_{1}| -4\langle\phi_{2}| -2 i\langle\phi_{3}|.

Passo 5

Regra do produto interno em base ortonormal (explicada): se
\left|A\right\rangle=\sum_{j} a_j\left|\phi_j\right\rangle,\qquad \left|B\right\rangle=\sum_{j} b_j\left|\phi_j\right\rangle
e a base é ortonormal, então
\langle A\mid B\rangle=\sum_{j} a_j^{*} b_j.
Isto vem do linearidade e do fato de \langle\phi_i|\phi_j\rangle=\delta_{ij} (delta de Kronecker).

Passo 6

Aplicando a fórmula aos coeficientes de \left|A\right\rangle e \left|B\right\rangle:
coeficientes de \left|A\right\rangle: a_1=3i,\\ a_2=-i,\\ a_3=4.
coeficientes de \left|B\right\rangle: b_1=5,\\ b_2=-4,\\ b_3=2i.
Calcule termo a termo \langle A\mid B\rangle=\sum_{j} a_j^{*} b_j:
a_1^{*}b_1=(3i)^{*}\cdot 5 = (-3i)\cdot 5 = -15 i,
a_2^{*}b_2=(-i)^{*}\cdot (-4) = (i)\cdot (-4) = -4 i,
a_3^{*}b_3=(4)^{*}\cdot (2i) = 4\cdot 2i = 8 i.
Somando:
\langle A\mid B\rangle = -15 i -4 i + 8 i = -11 i.

Resposta

a) \langle A| = -3 i\langle\phi_{1}| + i\langle\phi_{2}| + 4\langle\phi_{3}|
b) \langle B| = 5\langle\phi_{1}| -4\langle\phi_{2}| -2 i\langle\phi_{3}|
c) \langle A\mid B\rangle = -11 i

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