Se
e
é uma base ortonormal e:
Determine:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado nos dá uma base ortonormal
e os dois kets:
O que nos pedem:
a) (o bra associado a
);
b) (o bra associado a
);
c) (o produto interno entre
e
).
a)
b)
c)
Passo 2
Regra importante (explicadinha): o bra
é o adjunto hermitiano do ket
. Na prática, para passar de
para
faz-se:
- troca
por ; - complex conjugate (conjugar) todos os coeficientes
(substituir por , etc.).
Exemplo rápido de conjugação: o conjugado de
é
; o conjugado de
é
; de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra ao vetor
:
os coeficientes conjugados são
,
,
. Portanto
Passo 4
Agora para
:
os coeficientes conjugados são
,
,
. Logo
Passo 5
Regra do produto interno em base ortonormal (explicada): se
e a base é ortonormal, então
Isto vem do linearidade e do fato de
(delta de Kronecker).
Passo 6
Aplicando a fórmula aos coeficientes de
e
:
coeficientes de :
.
coeficientes de :
.
coeficientes de
coeficientes de
Calcule termo a termo
:
Somando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)