Se |\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle e |\phi_{3}\rangle é uma base ortonormal e:
\begin{aligned} & |A\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle-2\left|\phi_{2}\right\rangle+5\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & |B\rangle=-3\left|\phi_{1}\right\rangle+4\left|\phi_{2}\right\rangle+3 i\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & \alpha=3 i \end{aligned}
Determine:
\langle\mathrm{A} \mid \mathrm{B}\rangle

Passo 1

O enunciado fornece uma base ortonormal \{|\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle,|\phi_{3}\rangle\} e os vetores
|A\rangle = i|\phi_{1}\rangle - 2|\phi_{2}\rangle + 5|\phi_{3}\rangle, \qquad |B\rangle = -3|\phi_{1}\rangle + 4|\phi_{2}\rangle + 3i|\phi_{3}\rangle.
Também é dado \alpha=3i (não será necessário para calcular \langle A|B\rangle). A pergunta é: determinar \langle A\mid B\rangle.

Passo 2

Primeiro, a regra prática que vamos usar: para um par de vetores expressos numa base ortonormal, se
|A\rangle=\sum_{k=1}^{3} a_k|\phi_k\rangle,\qquad |B\rangle=\sum_{k=1}^{3} b_k|\phi_k\rangle,
então o produto interno é dado por
\langle A\mid B\rangle=\sum_{k=1}^{3}\overline{a_k}\,b_k.
Aqui \overline{a_k} significa o conjugado complexo do número a_k. Explico rapidamente por que: a forma bra \langle A| é o conjugado transposto do ket |A\rangle, então seus componentes são os conjugados dos coeficientes do ket. O produto interno é conjugado-linear na primeira entrada e linear na segunda — por isso aparece \overline{a_k} multiplicando b_k.

Passo 3

Identificamos os coeficientes dos vetores dados:
a_1 = i,\quad a_2 = -2,\quad a_3 = 5,
b_1 = -3,\quad b_2 = 4,\quad b_3 = 3i.

Passo 4

Agora tomamos os conjugados dos a_k:
\overline{a_1} = \overline{i} = -i,\qquad \overline{a_2} = \overline{-2} = -2,\qquad \overline{a_3} = \overline{5} = 5.

Passo 5

Calculamos cada termo \overline{a_k}b_k separadamente:
\overline{a_1}b_1 = (-i)\cdot(-3) = 3i,
\overline{a_2}b_2 = (-2)\cdot 4 = -8,
\overline{a_3}b_3 = 5\cdot(3i) = 15i.

Passo 6

Somando os termos:
\langle A\mid B\rangle = 3i + (-8) + 15i = -8 + 18i.

Resposta

-8 + 18 i

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