Se
e
é uma base ortonormal e:
Determine:
Passo 1
O enunciado dá uma base ortonormal
e os vetores (peguei exatamente estes coeficientes do enunciado):
e o escalar
.
O que pedem: calcular .
O que pedem: calcular
Passo 2
Propriedade importante (explicada de forma simples): ao formar o bra a partir de um ket multiplicado por um escalar complexo, o escalar sofre conjugação complexa. Ou seja, para qualquer escalar complexo
e vetores
vale
onde
é o conjugado complexo de
. Rápida intuição:
. Aqui vamos usar isso com
.
Passo 3
Escrever as componentes de
e
na base ortonormal (os coeficientes eu peguei do enunciado):
Passo 4
Fórmula do produto interno quando a base é ortonormal: se
então
ou seja, conjugamos os coeficientes do primeiro vetor e multiplicamos termo a termo pelos coeficientes do segundo, somando tudo. Vou aplicar isso a
.
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Os conjugados dos coeficientes de
são
,
,
. Substituindo:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 6
Agora usamos a propriedade do Passo 2 com
. O conjugado é
. Portanto
Multiplicando:
Somando os dois termos: