Se |\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle e |\phi_{3}\rangle é uma base ortonormal e:
\begin{aligned} & |A\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle-2\left|\phi_{2}\right\rangle+5\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & |B\rangle=-3\left|\phi_{1}\right\rangle+4\left|\phi_{2}\right\rangle+3 i\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & \alpha=3 i \end{aligned}
Determine:
\langle\alpha A \mid B\rangle

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal \{|\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle,|\phi_{3}\rangle\} e os vetores (peguei exatamente estes coeficientes do enunciado):
|A\rangle = i|\phi_{1}\rangle - 2|\phi_{2}\rangle + 5|\phi_{3}\rangle, \qquad |B\rangle = -3|\phi_{1}\rangle + 4|\phi_{2}\rangle + 3i|\phi_{3}\rangle,
e o escalar \alpha = 3i.
O que pedem: calcular \langle \alpha A \mid B\rangle.

Passo 2

Propriedade importante (explicada de forma simples): ao formar o bra a partir de um ket multiplicado por um escalar complexo, o escalar sofre conjugação complexa. Ou seja, para qualquer escalar complexo \beta e vetores |X\rangle,|Y\rangle vale
\langle \beta X \mid Y\rangle = \beta^{*}\langle X\mid Y\rangle,
onde \beta^{*} é o conjugado complexo de \beta. Rápida intuição: \langle \beta X| = (\beta|X\rangle)^\dagger = \beta^{*}\langle X|. Aqui vamos usar isso com \beta=\alpha.

Passo 3

Escrever as componentes de |A\rangle e |B\rangle na base ortonormal (os coeficientes eu peguei do enunciado):
\begin{aligned} |A\rangle &\longrightarrow (a_1,a_2,a_3) = (i,\,-2,\,5),\\\ |B\rangle &\longrightarrow (b_1,b_2,b_3) = (-3,\,4,\,3i). \end{aligned}

Passo 4

Fórmula do produto interno quando a base é ortonormal: se
|X\rangle = \sum_{j} x_j|\phi_j\rangle,\qquad |Y\rangle = \sum_{j} y_j|\phi_j\rangle,
então
\langle X\mid Y\rangle = \sum_{j} x_j^{*}\,y_j,
ou seja, conjugamos os coeficientes do primeiro vetor e multiplicamos termo a termo pelos coeficientes do segundo, somando tudo. Vou aplicar isso a \langle A\mid B\rangle.

Passo 5

Calcular \langle A\mid B\rangle passo a passo:
\langle A\mid B\rangle = a_1^{*}b_1 + a_2^{*}b_2 + a_3^{*}b_3.
Os conjugados dos coeficientes de |A\rangle são a_1^{*} = (i)^{*} = -i, a_2^{*} = (-2)^{*} = -2, a_3^{*} = 5^{*} = 5. Substituindo:
\langle A\mid B\rangle = (-i)(-3) + (-2)(4) + 5(3i).
Calcule cada termo:
(-i)(-3)=3i,\qquad (-2)(4)=-8,\qquad 5(3i)=15i.
Somando:
\langle A\mid B\rangle = 3i -8 + 15i = -8 + 18i.

Passo 6

Agora usamos a propriedade do Passo 2 com \alpha=3i. O conjugado é \alpha^{*} = (3i)^{*} = -3i. Portanto
\langle \alpha A\mid B\rangle = \alpha^{*}\langle A\mid B\rangle = (-3i)\,(-8+18i).
Multiplicando:
(-3i)(-8)=24i,\qquad (-3i)(18i)=-54i^{2}=54.
Somando os dois termos:
\langle \alpha A\mid B\rangle = 54 + 24i.

Resposta

\,54+24i

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