Ouvido humano: O ouvido humano é um detector sonoro muito sensível, conseguindo detectar sons extremamente fracos com amplitude de pressão de 2,8 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa}. Para um som com frequência de 10^{3} \mathrm{~Hz}, qual é a amplitude de deslocamento correspondente? Já a amplitude de pressão máxima correspondente ao limiar da dor é da ordem de 28 Pa , qual é a amplitude de deslocamento correspondente ao limiar da dor? Considere a velocidade do som no ar v \approx 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a densidade do ar igual a 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Encontre a intensidade e o nível sonoro correspondentes ao som mais fraco captado pelo ouvido humano e ao limiar da dor.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para um som de frequência \;10^{3}\\ \mathrm{Hz}:\n
  1. a amplitude de deslocamento do ar correspondente à amplitude de pressão mínima detectável \;2{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa};\n
  2. a amplitude de deslocamento correspondente à amplitude de pressão do limiar da dor \;28\\ \mathrm{Pa};\n
  3. a intensidade acústica e o nível sonoro (em decibéis) correspondentes a esses dois casos (som mais fraco detectado e limiar da dor).\n\n
    As informações fornecidas que vou usar são:\n
    \;p_{\min}=2{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa},\n
    \;p_{\max}=28\\ \mathrm{Pa},\n
    \;f=10^{3}\\ \mathrm{Hz},\n
    \;v=340\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som no ar),\n
    \;\rho=1{,}21\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do ar),\n
    referência de intensidade sonora \;I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.\n\n
    Vou calcular passo a passo: (a) amplitudes de deslocamento \;s, (b) intensidades médias \;I e (c) níveis sonoros \;L em dB.

Passo 2

Relação entre amplitude de pressão e amplitude de deslocamento para uma onda sonora progressiva (plana) harmônica:\n
A ideia física: as partículas do ar oscilam com uma velocidade de partícula cuja amplitude é \;u_{\max}=\omega s_{\max}, onde \;s_{\max} é a amplitude de deslocamento e \;\omega a frequência angular. A impedância acústica do ar é \;Z=\rho v. A amplitude de pressão relaciona-se com a velocidade de partícula por \;p_{\max}=Z\,u_{\max}. Portanto obtemos a fórmula útil:\n
p_{\max} = \rho\,v\,\omega\,s_{\max}.\n
Aqui:\n
\;p_{\max} é a amplitude de pressão (Pa),\n
\;\rho é a densidade do meio (kg/m ^3),\n
\;v é a velocidade do som (m/s),\n
\;\omega é a frequência angular (rad/s), \;\omega=2\pi f,\n
\;s_{\max} é a amplitude de deslocamento (m).\n\n
Isolando \;s_{\max} obtemos:\n
s_{\max}=\frac{p_{\max}}{\rho\,v\,\omega}.
Essa é a fórmula que vou usar para achar as amplitudes de deslocamento.

Passo 3

Calcular a frequência angular \;\omega:\n
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.\n
Numericamente:
\omega = 2\pi\cdot 10^{3} \approx 6{,}283{,}185\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o denominador \;\rho\,v\,\omega que aparece em \;s_{\max}:\n
\rho\,v\,\omega = 1{,}21\cdot 340\cdot 6{,}283{,}185\\ \mathrm{(kg/m^{3}\cdot m/s\cdot rad/s)}.\n
Faço em duas etapas: \;1{,}21\cdot 340 = 411{,}4. Então
\rho v\omega = 411{,}4\cdot 6{,}283{,}185 \approx 2{,}584{,}901{,}4\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}.
(Unidades combinadas dão a forma correta para dividir uma pressão e obter um comprimento.)

Passo 5

Agora calculo a amplitude de deslocamento para o som mais fraco usando \;p_{\min}=2{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa}:\n
s_{\min}=\frac{p_{\min}}{\rho v\omega}=\frac{2{,}8\times10^{-5}}{2{,}584{,}901{,}4}\\ \mathrm{m}.\n
Fazendo a divisão:
s_{\min}\approx 1{,}083\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: isso é da ordem de 10^{-11}\\ \mathrm{m}, muito menor que o tamanho de uma célula e menor que um angstrom ( 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}), o que mostra quão sensível é o ouvido.

Passo 6

Calculo a amplitude de deslocamento para o limiar da dor com \;p_{\max}=28\\ \mathrm{Pa}:\n
s_{\text{dor}}=\frac{p_{\max}}{\rho v\omega}=\frac{28}{2{,}584{,}901{,}4}\\ \mathrm{m}.\n
Fazendo a divisão:
s_{\text{dor}}\approx 1{,}083\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso é da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{m} (alguns micrômetros), ou seja, deslocamentos macroscópicos comparados ao caso anterior.

Passo 7

Agora calculo as intensidades médias. Para uma onda harmônica a intensidade média é
I = \frac{p_{\text{max}}^{2}}{2\rho v},
porque p_{\text{rms}}=p_{\max}/\sqrt{2} e I=p_{\text{rms}}^{2}/(\rho v). Vou computar \;2\rho v primeiro:\n
2\rho v = 2\cdot 1{,}21\cdot 340 = 822{,}8\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}.

Passo 8

Intensidade para o som mais fraco ( p_{\min}=2{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa}):\n
I_{\min}=\frac{(2{,}8\times10^{-5})^{2}}{822{,}8}=\frac{7{,}84\times10^{-10}}{822{,}8}\\ \mathrm{W/m^{2}}.\n
Fazendo a divisão:
I_{\min}\approx 9{,}53\times10^{-13}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Isso é muito próximo da referência 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} usada para 0\\ \mathrm{dB}.

Passo 9

Intensidade para o limiar da dor ( p_{\max}=28\\ \mathrm{Pa}):\n
I_{\text{dor}}=\frac{28^{2}}{822{,}8}=\frac{784}{822{,}8}\\ \mathrm{W/m^{2}}.\n
Fazendo a divisão:
I_{\text{dor}}\approx 0{,}9527\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 10

Calculo dos níveis sonoros em decibéis usando \;L = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right) com \;I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.\n
Para o som mais fraco:
L_{\min}=10\log_{10}\!\left(\frac{9{,}53\times10^{-13}}{10^{-12}}\right)=10\log_{10}(0{,}953)\approx -0{,}21\\ \mathrm{dB}.
Isso significa praticamente 0\\ \mathrm{dB} (a referência), já que o valor dado de pressão foi um pouco diferente do valor padrão 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa}.\n
Para o limiar da dor:
L_{\text{dor}}=10\log_{10}\!\left(\frac{0{,}9527}{10^{-12}}\right)=10\log_{10}(9{,}527\times10^{11})\approx 119{,}79\\ \mathrm{dB}.
Arredondando: aproximadamente 120\\ \mathrm{dB}, valor típico citado para limiar da dor.

Resposta

s_{\min}\approx 1{,}08\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\n
s_{\text{dor}}\approx 1{,}08\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\n
I_{\min}\approx 9{,}53\times10^{-13}\\ \mathrm{W/m^{2}}\n
L_{\min}\approx -0{,}21\\ \mathrm{dB}\\ \text{(aprox. }0\\ \mathrm{dB}\text{)}\n
I_{\text{dor}}\approx 9{,}53\times10^{-1}\\ \mathrm{W/m^{2}}\n
L_{\text{dor}}\approx 119{,}8\\ \mathrm{dB}\\ \text{(aprox. }120\\ \mathrm{dB}\text{)}

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