Radar: Consiste em um instrumento que permite detectar objetos em movimento. Ele é equipado com um transmissor e um receptor de ondas eletromagnéticas que pode ser utilizado para medir a velocidade ( v ) de um objeto que se aproxima ou se afasta dele. A partir da análise das ondas refletidas no alvo, encontre a velocidade ( v ) de um carro que se aproxima de um radar. Expresse seu resultado em termos da frequência das ondas que chegam ao receptor \left(f_{r}\right), da frequência emitida pelo transmissor do radar \left(f_{e}\right) e da velocidade da luz (c). Considere c \gg v.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a velocidade v de um carro que se aproxima de um radar, usando apenas as frequências e a velocidade da luz. Dados fornecidos:
f_{e} \text{ = frequência emitida pelo transmissor do radar},ê
f_{r} \text{ = frequência das ondas que chegam ao receptor (após reflexão no carro)},êóã
c \text{ = velocidade da luz (constante), e considera-se } c \gg v.
O objetivo é expressar v em termos de f_{r}, f_{e} e c. Vou tratar o carro como refletor (recebe a onda e reemite), e o carro está se aproximando (logo a frequência recebida pelo radar aumenta).

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): Doppler aplicado ao caso de onda refletida.
  • Quando um observador se aproxima de uma fonte estacionária, a frequência que o observador detecta é maior. A fórmula, para um observador movendo-se com velocidade v em direção à fonte (onda com velocidade de propagação c), é
f_{\text{no alvo}} = f_{e}\,\frac{c+v}{c}.
Aqui f_{\text{no alvo}} é a frequência que o carro “vê” quando a onda emitida pelo radar chega nele. Explicando os termos: f_{e} é a frequência emitida; c é a velocidade da onda; v é a velocidade do observador (o carro) positiva quando se aproxima, por isso somamos em cima.

Passo 3

O reflexo como fonte em movimento (explicação didática):
  • O carro reflete (reemite) a onda com a mesma frequência que recebeu no seu referencial. Mas agora o carro atua como uma fonte em movimento, aproximando-se do radar. Para uma fonte movendo-se em direção a um observador estacionário, a frequência observada é aumentada por um fator \dfrac{c}{c-v}. Assim, a frequência finalmente recebida pelo radar é
f_{r} = f_{\text{no alvo}}\cdot\frac{c}{c-v}.
Substituindo f_{\text{no alvo}} da etapa anterior:
f_{r} = f_{e}\,\frac{c+v}{c}\cdot\frac{c}{c-v}.

Passo 4

Simplificação da expressão para f_{r} (conta passo a passo):
  • Cancelando o c do numerador com o c do denominador na expressão acima, obtemos a forma exata
f_{r} = f_{e}\,\frac{c+v}{c-v}.
Esta é a relação entre as frequências considerando as duas etapas do efeito Doppler (ida e volta).

Passo 5

Isolando v em termos de f_{r} e f_{e} (álgebra detalhada):
  • Defina a razão \displaystyle R=\frac{f_{r}}{f_{e}}. A equação fica
R=\frac{c+v}{c-v}.
  • Multiplicando ambos os lados por (c-v):
R(c-v)=c+v.
  • Desenvolvendo:
Rc - Rv = c + v.
  • Reagrupando termos com v em um lado:
Rc - c = Rv + v.
  • Fatorando:
c(R-1)=v(R+1).
  • Finalmente isolando v:
v = c\,\frac{R-1}{R+1}.
  • Voltando à definição de R, obtemos a forma exata:
v = c\,\frac{\dfrac{f_{r}}{f_{e}}-1}{\dfrac{f_{r}}{f_{e}}+1}.

Passo 6

Aproximação para c \gg v (justificativa e simplificação):
  • Quando v é muito menor que c, a razão \dfrac{f_{r}}{f_{e}} estará próxima de 1. Expanda a forma exata para primeira ordem em v/c. Observe que
\frac{c+v}{c-v}=\frac{1+v/c}{1-v/c}\approx(1+v/c)(1+v/c)=1+2\frac{v}{c}+O\!\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right).
  • Assim \dfrac{f_{r}}{f_{e}}\approx 1+2\frac{v}{c}. Reorganizando para v e desprezando termos quadráticos,
v \approx \frac{c}{2}\left(\frac{f_{r}}{f_{e}}-1\right).
  • Outra forma equivalente, escrevendo a diferença de frequências:
v \approx \frac{c}{2}\,\frac{f_{r}-f_{e}}{f_{e}}.

Passo 7

Interpretação final breve e incentivo:
  • A expressão aproximada mostra que a variação relativa de frequência \dfrac{f_{r}-f_{e}}{f_{e}} é proporcional a \dfrac{2v}{c}. Ou seja, small shifts in frequency map linearly to speed when v\ll c.
  • Você consegue aplicar essa fórmula direta no gabarito da prova: calcule a razão f_{r}/f_{e}, subtraia 1, multiplique por c/2 e pronto — velocidade estimada do carro.

Resposta

v=c\;\frac{\dfrac{f_{r}}{f_{e}}-1}{\dfrac{f_{r}}{f_{e}}+1}
\text{(aprox. para }c\gg v\text{):}\quad v\approx\frac{c}{2}\left(\frac{f_{r}}{f_{e}}-1\right)=\frac{c}{2}\,\frac{f_{r}-f_{e}}{f_{e}}

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