Radar: Consiste em um instrumento que permite detectar objetos em movimento. Ele é equipado com um transmissor e um receptor de ondas eletromagnéticas que pode ser utilizado para medir a velocidade (
) de um objeto que se aproxima ou se afasta dele. A partir da análise das ondas refletidas no alvo, encontre a velocidade (
) de um carro que se aproxima de um radar. Expresse seu resultado em termos da frequência das ondas que chegam ao receptor
, da frequência emitida pelo transmissor do radar
e da velocidade da luz (c). Considere
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a velocidade
de um carro que se aproxima de um radar, usando apenas as frequências e a velocidade da luz. Dados fornecidos:
O objetivo é expressar
em termos de
,
e
. Vou tratar o carro como refletor (recebe a onda e reemite), e o carro está se aproximando (logo a frequência recebida pelo radar aumenta).
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): Doppler aplicado ao caso de onda refletida.
- Quando um observador se aproxima de uma fonte estacionária, a frequência que o observador detecta é maior. A fórmula, para um observador movendo-se com velocidade
em direção à fonte (onda com velocidade de propagação ), é
Aqui
é a frequência que o carro “vê” quando a onda emitida pelo radar chega nele. Explicando os termos:
é a frequência emitida;
é a velocidade da onda;
é a velocidade do observador (o carro) positiva quando se aproxima, por isso somamos em cima.
Passo 3
O reflexo como fonte em movimento (explicação didática):
- O carro reflete (reemite) a onda com a mesma frequência que recebeu no seu referencial. Mas agora o carro atua como uma fonte em movimento, aproximando-se do radar. Para uma fonte movendo-se em direção a um observador estacionário, a frequência observada é aumentada por um fator
. Assim, a frequência finalmente recebida pelo radar é
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 4
Simplificação da expressão para
(conta passo a passo):
- Cancelando o
do numerador com o do denominador na expressão acima, obtemos a forma exata
Esta é a relação entre as frequências considerando as duas etapas do efeito Doppler (ida e volta).
Passo 5
Isolando
em termos de
e
(álgebra detalhada):
- Defina a razão
. A equação fica
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo:
- Reagrupando termos com
em um lado:
- Fatorando:
- Finalmente isolando
:
- Voltando à definição de
, obtemos a forma exata:
Passo 6
Aproximação para
(justificativa e simplificação):
- Quando
é muito menor que , a razão estará próxima de . Expanda a forma exata para primeira ordem em . Observe que
- Assim
. Reorganizando para e desprezando termos quadráticos,
- Outra forma equivalente, escrevendo a diferença de frequências:
Passo 7
Interpretação final breve e incentivo:
- A expressão aproximada mostra que a variação relativa de frequência
é proporcional a . Ou seja, small shifts in frequency map linearly to speed when . - Você consegue aplicar essa fórmula direta no gabarito da prova: calcule a razão
, subtraia 1, multiplique por e pronto — velocidade estimada do carro.