(a) Se f(x) é crescente, use a Prop. 6 para explicar que
\int_{0}^{x} f(x) d x \leq x f(x), \quad x>0
(b) Tome derivadas a ambos lados para uma segunda prova.

Passo 1

O enunciado dá que f é crescente e pede duas coisas:
  • (a) usar a Prop. 6 para explicar que
\int_{0}^{x} f(x)\,dx \leq x f(x),\qquad x>0;
  • (b) fornecer uma segunda prova tomando derivadas dos dois lados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f é crescente (isso vale em todo o intervalo considerado, em particular em [0,x] para qualquer x>0).
  • A desigualdade deve ser mostrada para todo x>0.
  • Nota técnica: a variável de integração é um símbolo fictício; na solução trocarei por t e escreverei a integral como \int_{0}^{x} f(t)\,dt.

Passo 2

Recordando (e explicando) a Prop. 6 usada: para uma função crescente f em um intervalo [a,b], em qualquer subintervalo [u,v]\subset[a,b] vale que o ínfimo de f nesse subintervalo é f(u) e o supremo é f(v). Em termos de somas de Riemann isso implica que, para a partição trivial do intervalo inteiro [a,b] (uma só subintervalo), a soma superior (upper sum) é (b-a)\,f(b) e a soma inferior (lower sum) é (b-a)\,f(a). Como a integral (se f for integrável) fica entre a soma inferior e a soma superior, obtém-se
(b-a)f(a)\le \int_a^b f(t)\,dt \le (b-a)f(b).
Isto é a versão da Prop. 6 que vamos aplicar.

Passo 3

Aplicando a Prop. 6 ao nosso caso com a=0 e b=x (lembrando que x>0) obtemos diretamente
\int_{0}^{x} f(t)\,dt \le (x-0)\,f(x) = x f(x).
Explicação intuitiva: como f é crescente, para todo t\in[0,x] vale f(t)\le f(x). Integrando essa desigualdade em t sobre [0,x]
\int_{0}^{x} f(t)\,dt \le \int_{0}^{x} f(x)\,dt = x f(x),
o que coincide com a conclusão da Prop. 6 aplicada ao subintervalo único [0,x].

Passo 4

Exemplo rápido para fixar a ideia: tome f(t)=t (que é crescente). Então
\int_{0}^{x} t\,dt = \frac{x^{2}}{2} \le x\cdot x = x^{2},
o que confirma a desigualdade no exemplo simples.

Passo 5

Segunda prova (usando derivadas). Aqui é preciso assumir que f é diferenciável em (0,\infty) — caso contrário a prova por derivadas não se aplica diretamente; a prova do Passo 3 não precisa dessa hipótese.
Defina
G(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt
e a função auxiliar
h(x)=x f(x)-G(x).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, G'(x)=f(x). Aplicando a regra do produto e differentiando h obtemos
h'(x)=\bigl(x f(x)\bigr)' - G'(x) = \bigl(f(x)+x f'(x)\bigr) - f(x) = x f'(x).
Como assumimos f crescente e diferenciável, tem-se f'(x)\ge 0 para todo x considerado; com x>0 segue h'(x)\ge 0. Portanto h é não decrescente. Como
h(0)=0\cdot f(0)-\int_{0}^{0} f(t)\,dt = 0,
temos h(x)\ge h(0)=0 para todo x\ge 0. Logo
x f(x)-\int_{0}^{x} f(t)\,dt = h(x)\ge 0,
ou seja
\int_{0}^{x} f(t)\,dt \le x f(x),
que é exatamente a desigualdade desejada.

Passo 6

Observações finais e caso de igualdade: a desigualdade é intuitivamente a afirmação de que a área sob a curva y=f(t) em [0,x] é menor ou igual à área do retângulo de base x e altura f(x). A igualdade ocorre exatamente quando f(t)=f(x) para quase todo t\in[0,x], por exemplo se f for constante em [0,x].

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt \le x f(x),\quad x>0

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