(a) Se
é crescente, use a Prop. 6 para explicar que
(b) Tome derivadas a ambos lados para uma segunda prova.
Passo 1
O enunciado dá que
é crescente e pede duas coisas:
- (a) usar a Prop. 6 para explicar que
- (b) fornecer uma segunda prova tomando derivadas dos dois lados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é crescente (isso vale em todo o intervalo considerado, em particular em para qualquer ). - A desigualdade deve ser mostrada para todo
. - Nota técnica: a variável de integração é um símbolo fictício; na solução trocarei por
e escreverei a integral como .
Passo 2
Recordando (e explicando) a Prop. 6 usada: para uma função crescente
em um intervalo
, em qualquer subintervalo
vale que o ínfimo de
nesse subintervalo é
e o supremo é
. Em termos de somas de Riemann isso implica que, para a partição trivial do intervalo inteiro
(uma só subintervalo), a soma superior (upper sum) é
e a soma inferior (lower sum) é
. Como a integral (se
for integrável) fica entre a soma inferior e a soma superior, obtém-se
Isto é a versão da Prop. 6 que vamos aplicar.
Passo 3
Aplicando a Prop. 6 ao nosso caso com
e
(lembrando que
) obtemos diretamente
Explicação intuitiva: como
é crescente, para todo
vale
. Integrando essa desigualdade em
sobre
dá
o que coincide com a conclusão da Prop. 6 aplicada ao subintervalo único
.
Passo 4
Exemplo rápido para fixar a ideia: tome
(que é crescente). Então
o que confirma a desigualdade no exemplo simples.
Passo 5
Segunda prova (usando derivadas). Aqui é preciso assumir que
é diferenciável em
— caso contrário a prova por derivadas não se aplica diretamente; a prova do Passo 3 não precisa dessa hipótese.
Defina
e a função auxiliar
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
. Aplicando a regra do produto e differentiando
obtemos
Como assumimos
crescente e diferenciável, tem-se
para todo
considerado; com
segue
. Portanto
é não decrescente. Como
temos
para todo
. Logo
ou seja
que é exatamente a desigualdade desejada.
Passo 6
Observações finais e caso de igualdade: a desigualdade é intuitivamente a afirmação de que a área sob a curva
em
é menor ou igual à área do retângulo de base
e altura
. A igualdade ocorre exatamente quando
para quase todo
, por exemplo se
for constante em
.