Um ovo pode ser considerado uma esfera com diâmetro de 5 cm . O ovo está inicialmente a uma temperatura uniforme de
e é colocado na água fervendo a
. Tomando o coeficiente de transferência de calor por convecção
. Determine: (a) quanto tempo será necessário para que o centro do ovo chegue a
; (b) a quantidade de calor total transferida para o ovo. Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informações fornecidas:
- O que é pedido:
(a) tempo necessário para que o centro do ovo atinja;
(b) quantidade de calor total transferida para o ovo até esse instante.
Observação: não há dados de densidade
nem do calor específico
isolados, mas foi dado
e
, então poderemos usar a relação
para obter a capacidade térmica do ovo (isso é útil para calcular o calor trocado).
Passo 2
Escolha do método e verificação inicial (checagem do número de Biot):
- Regra prática: se
podemos usar o método de corpo de temperatura uniforme (lumped capacitance). Caso contrário precisamos resolver a condução transiente interna (série de autovalores ou Heisler charts). - Calculo de
:
- Conclusão:
. Logo o ovo não pode ser tratado como corpo de temperatura uniforme; é necessário usar a solução de condução transiente para esfera com convecção na superfície (séries de autovalores). Vou explicar passo a passo essa solução e usarei a aproximação de um termo dominante (primeiro autovalor), que costuma dar boa precisão para este tipo de problema.
Passo 3
Formulação matemática e solução em série (princípios e definições):
- Definimos a variável adimensional de temperatura
Assim inicialmente e no instante desejado no centro precisamos de - Definimos o número de Fourier
- A solução da equação de calor radial para esfera com condição convectiva na superfície é uma série de termos exponenciais com autovalores
(p.ex. Incropera et al.). Os autovalores são as raízes da equação transcendental: onde e . - As funções espaciais regulares no centro são proporcionais a
. Expandindo a condição inicial em termos dessas funções obtemos coeficientes (faço as contas integrais abaixo). - Cálculo dos coeficientes (mostrando a conta para se aprender como é feito): com
, a norma
Depois da projeção (multiplicando pore integrando) obtemos o coeficiente - Temperatura no centro
: usando obtemos Para cálculo prático mantemos apenas o primeiro termo (método usual — explico por que é razoável em seguida): com - Observação didática: por que usar apenas primeiro termo? A série converge rapidamente porque os expoentes têm
no expoente; para tempos moderados o primeiro autovalor domina. Como é grande, fica próximo de e os termos superiores decaem ainda mais rápido. Portanto a aproximação de um termo é adequada aqui, com erro pequeno para o objetivo de achar o tempo até o centro chegar a .
Passo 4
Determinação numérica do primeiro autovalor
e do coeficiente
:
- Relembrando
, então a equação dos autovalores é Procuramos a primeira raiz no intervalo próximo de (porque para valores grandes de a raiz fica logo abaixo de ). Fazendo um desenvolvimento assintótico e refinando numericamente (Newton simples) obtemos - Agora calculo
. Primeiro avalio alguns termos:
Portanto
- Queremos
. Com a aproximação de um termo: Calculando: Tomando ln e isolando
- Finalmente convertemos
em tempo:
Em minutos:
.
Passo 5
Cálculo do calor total transferido até esse instante:
- Energia acumulada no ovo até o tempo
é a variação de energia interna: onde é a temperatura média volumétrica do ovo no instante . Não foi dado nem separadamente, mas como segue - Precisamos de
. Podemos obter a temperatura média através da mesma expansão em autovalores. Fazendo a integração de volume (mostro a conta rápida já feita na dedução): com, para o primeiro termo, (Derivação: integramos sobre o volume e usamos os resultados das integrais; a expressão acima é o coeficiente correspondente à média.) - Calculo numérico de
usando os valores já obtidos: Assim - Recuperando
:
- Volume da esfera:
- Calculando
: - Finalmente o calor:
Breve comentário final (didático e tranquilizador): usamos a aproximação de primeiro termo da série para obter tempo e temperatura média; essa aproximação é a prática comum em problemas de condução transiente porque os termos seguintes decaem mais rápido. Os números finais são coerentes fisicamente (leva minutos para aquecer o centro de um ovo com forte convecção, e a ordem de
para o calor absorvido é plausível).
Resposta
(a)
(b)
(b)