Um óleo lubrificante, de densidade \mathrm{d}=0,860, é bombeado através de 500 m de tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a uma vazão de 0,00125 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Se a queda de pressão neste trecho do tubo é 210 kPa , qual é a viscosidade absoluta do óleo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a viscosidade absoluta do óleo:
  • Densidade relativa (gravidade específica) do óleo: \mathrm{d}=0,860.
  • Comprimento do trecho de tubo: L=500\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo: D=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,00125\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Queda de pressão no trecho: \Delta p=210\\ \mathrm{kPa}=210000\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede:
  • A viscosidade absoluta (viscosidade dinâmica) do óleo, \mu, em \mathrm{Pa\cdot s}.
Observação: a densidade relativa \mathrm{d} significa que a densidade do óleo é \rho=\mathrm{d}\times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Vou usar isso adiante.

Passo 2

Calcular a velocidade média do fluido no tubo a partir da vazão Q.
Primeiro a área da seção transversal do tubo (círculo):
A = \frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro. Aqui D=0,05\\ \mathrm{m}, então
A = \frac{\pi (0,05)^{2}}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0025}{4} = \frac{0,0025\pi}{4}.
A velocidade média V está relacionada com a vazão por
V = \frac{Q}{A}.
Substituindo A:
V = \frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Agora calculo numericamente:
D^{2}=(0,05)^{2}=0,0025,
V=\frac{4\cdot 0,00125}{\pi\cdot 0,0025}=\frac{0,005}{0,00785398\ldots}\approx 0,6366\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Apresentar a relação entre queda de pressão e perda por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) e como ligar isso à viscosidade na hipótese de escoamento laminar.
A equação de Darcy–Weisbach para a perda de carga expressa em pressão é
\Delta p = f \frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde
  • \Delta p é a perda de pressão (Pa),
  • f é o fator de atrito adimensional,
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m ^3),
  • V é a velocidade média (m/s).
O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu},
onde \mu é a viscosidade absoluta (Pa·s). O regime de escoamento depende de \mathrm{Re}: se \mathrm{Re}\lesssim 2000 o escoamento é laminar.
Para escoamento laminar em tubo circular o fator de atrito é dado por
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Logo, se o escoamento for laminar podemos substituir f na equação de Darcy–Weisbach e obter uma relação direta entre \Delta p e \mu.

Passo 4

Fazer a substituição e isolar a viscosidade \mu (álgebra passo a passo).
Substituindo f=64/\mathrm{Re} e \mathrm{Re}=\rho V D/\mu em Darcy–Weisbach:
\Delta p = \left(\frac{64}{\mathrm{Re}}\right)\frac{L}{D}\frac{\rho V^{2}}{2} = \frac{64}{\rho V D/\mu}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho V^{2}}{2}.
Simplifico termos (observe que \rho cancela e um V também):
\Delta p = \frac{64\mu}{\rho V D}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho V^{2}}{2} = 64\mu\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V}{2D}.
Isto dá
\Delta p = 32\,\mu\,\frac{L\,V}{D^{2}}.
Isolando \mu:
\mu = \frac{\Delta p\,D^{2}}{32\,L\,V}.
Como V=\dfrac{4Q}{\pi D^{2}}, posso substituir e obter uma forma direta em Q:
\mu = \frac{\Delta p\,D^{2}}{32\,L\left(\dfrac{4Q}{\pi D^{2}}\right)} = \frac{\pi\,\Delta p\,D^{4}}{128\,L\,Q}.
Essa última expressão é conveniente para calcular numericamente \mu a partir dos dados do enunciado.

Passo 5

Calcular numericamente \mu usando a fórmula obtida.
Primeiro a densidade absoluta:
\rho = \mathrm{d}\times 1000 = 0,860\times 1000 = 860\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora usar
\mu = \frac{\pi\,\Delta p\,D^{4}}{128\,L\,Q}.
Calculo passo a passo:
D^{4}=(0,05)^{4}=6{,}25\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}},
\pi\,\Delta p\,D^{4}=\pi\cdot 210000\cdot 6{,}25\times 10^{-6} \approx 4{,}123\\ \text{(unidade: Pa·m^{4})},
128\,L\,Q = 128\cdot 500\cdot 0,00125 = 80.
Portanto
\mu \approx \frac{4{,}123}{80}=0{,}05154\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 6

Verificar a consistência da hipótese de escoamento laminar calculando o número de Reynolds com o valor de \mu encontrado.
Já calculamos V\approx 0{,}6366\\ \mathrm{m/s}. Então
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{860\cdot 0{,}6366\cdot 0{,}05}{0{,}05154}\approx 531.
Como \mathrm{Re}\approx 531<2000, o escoamento é, de fato, laminar. Logo a hipótese f=64/\mathrm{Re} foi apropriada e o cálculo de \mu é consistente.

Passo 7

Interpretação final e encorajamento rápido.
O valor encontrado, \mu\approx 0{,}0515\\ \mathrm{Pa\cdot s} (ou 51{,}5\\ \mathrm{mPa\cdot s}), é um valor típico para óleos lubrificantes mais viscosos do que água (água a 20^\circ\mathrm{C} tem \mu\approx 0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Verifique sempre, em provas, se a hipótese de escoamento laminar é plausível — aqui confirmamos isso calculando \mathrm{Re}.
Força aí — você conseguiu chegar ao resultado e validou a suposição principal!

Resposta

\mu \approx 0{,}0515\\ \mathrm{Pa\cdot s}

Exercícios relacionados