Um óleo lubrificante, de densidade
, é bombeado através de 500 m de tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a uma vazão de
. Se a queda de pressão neste trecho do tubo é 210 kPa , qual é a viscosidade absoluta do óleo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a viscosidade absoluta do óleo:
- Densidade relativa (gravidade específica) do óleo:
. - Comprimento do trecho de tubo:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Vazão volumétrica:
. - Queda de pressão no trecho:
.
O que se pede:
- A viscosidade absoluta (viscosidade dinâmica) do óleo,
, em .
Observação: a densidade relativa
significa que a densidade do óleo é
. Vou usar isso adiante.
Passo 2
Calcular a velocidade média do fluido no tubo a partir da vazão
.
Primeiro a área da seção transversal do tubo (círculo):
onde
é o diâmetro. Aqui
, então
A velocidade média
está relacionada com a vazão por
Substituindo
:
Agora calculo numericamente:
Passo 3
Apresentar a relação entre queda de pressão e perda por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) e como ligar isso à viscosidade na hipótese de escoamento laminar.
A equação de Darcy–Weisbach para a perda de carga expressa em pressão é
onde
-
é a perda de pressão (Pa), -
é o fator de atrito adimensional, -
é o comprimento do tubo (m), -
é o diâmetro (m), -
é a densidade do fluido (kg/m ), -
é a velocidade média (m/s).
O número de Reynolds é definido por
onde
é a viscosidade absoluta (Pa·s). O regime de escoamento depende de
: se
o escoamento é laminar.
Para escoamento laminar em tubo circular o fator de atrito é dado por
Logo, se o escoamento for laminar podemos substituir
na equação de Darcy–Weisbach e obter uma relação direta entre
e
.
Passo 4
Fazer a substituição e isolar a viscosidade
(álgebra passo a passo).
Substituindo
e
em Darcy–Weisbach:
Simplifico termos (observe que
cancela e um
também):
Isto dá
Isolando
:
Como
, posso substituir e obter uma forma direta em
:
Essa última expressão é conveniente para calcular numericamente
a partir dos dados do enunciado.
Passo 5
Calcular numericamente
usando a fórmula obtida.
Primeiro a densidade absoluta:
Agora usar
Calculo passo a passo:
Portanto
Passo 6
Verificar a consistência da hipótese de escoamento laminar calculando o número de Reynolds com o valor de
encontrado.
Já calculamos
. Então
Como
, o escoamento é, de fato, laminar. Logo a hipótese
foi apropriada e o cálculo de
é consistente.
Passo 7
Interpretação final e encorajamento rápido.
O valor encontrado,
(ou
), é um valor típico para óleos lubrificantes mais viscosos do que água (água a
tem
). Verifique sempre, em provas, se a hipótese de escoamento laminar é plausível — aqui confirmamos isso calculando
.
Força aí — você conseguiu chegar ao resultado e validou a suposição principal!