Óleo leve ( \rho=880 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=0,015 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} ) escoa através de um tubo vertical de 6 mm de diâmetro por ação da gravidade. Estime a vazão do óleo em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} para os seguintes comprimentos de tubulação \mathrm{L}=1 \mathrm{~m} e \mathrm{L}=2 \mathrm{~m}. Verifique se o escoamento é laminar.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a vazão volumétrica do óleo em \mathrm{m^3/h} quando ele escoa verticalmente por um tubo de diâmetro D=6\\ \mathrm{mm} devido à gravidade, para dois comprimentos L=1\\ \mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m}. Também pede para verificar se o escoamento é laminar.\n\nDados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):\n\n- Densidade: \rho = 880\\ \mathrm{kg/m^3}\n- Viscosidade dinâmica: \mu = 0{,}015\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} (ou Pa·s)\n- Diâmetro do tubo: D = 6\\ \mathrm{mm} = 0{,}006\\ \mathrm{m}\n- Raio do tubo: R = D/2 = 0{,}003\\ \mathrm{m}\n- Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (usarei esse valor)\n- Comprimentos solicitados: L=1\\ \mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m}\n\nO que devemos entregar:\n\n- Estimativa da vazão volumétrica Q em \mathrm{m^3/h} para cada valor de L.\n- Verificação (cálculo) do número de Reynolds para dizer se o escoamento é laminar.

Passo 2

Qual método usar (explicação didática):\n\nQuando um fluido newtoniano (óleo aqui é tratado como newtoniano) escoa de forma viscosa, estável e plenamente desenvolvido dentro de um tubo circular, e a aceleração da gravidade fornece a força que “empurra” o fluido ao longo do tubo, a situação é equivalente a um escoamento implantado por um gradiente de pressão constante. Para escoamento laminar totalmente desenvolvido num tubo circular temos a lei de Poiseuille (Hagen–Poiseuille) que dá a vazão volumétrica como:\n\n Q = \frac{\pi R^{4}}{8\mu}\,\left(\frac{\Delta P}{L}\right)\n\nAqui:\n\n- Q é a vazão volumétrica (m ^3/s),\n- R é o raio do tubo (m),\n- \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),\n- \Delta P é a diferença de pressão ao longo do comprimento L (Pa),\n- L é o comprimento considerado (m).\n\nNo nosso caso a “força” que cria o gradiente de pressão é a gravidade. Para um trecho vertical descendente, a diferença de pressão por unidade de comprimento causada pela coluna de fluido é \rho g. Assim o gradiente de pressão (módulo) é:\n\n \frac{\Delta P}{L} = \rho g.\n\nSubstituindo esse valor em Poiseuille obtemos a fórmula específica para escoamento devido à gravidade:\n\n Q = \frac{\pi R^{4}}{8\mu}\,\rho g.\n\nObservação importante (didática): note que \rho g não depende de L, portanto, nessa idealização, Q fica independente do comprimento L. Isso é razoável porque a força peso por unidade de comprimento é constante ao longo do tubo; o comprimento só define a perda total de pressão, mas a perda por unidade de comprimento é constante. Vamos calcular Q a partir dessa expressão e depois verificar se as hipóteses (laminaridade e escoamento plenamente desenvolvido) são válidas para os comprimentos dados.

Passo 3

Cálculo numérico da vazão Q (passo a passo, sem pular contas):\n\nPrimeiro calcule R^4:\n\n R = 0{,}003\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R^{2} = (0{,}003)^{2} = 9{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\n R^{4} = (R^{2})^{2} = (9{,}0\times 10^{-6})^{2} = 8{,}1\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}\n\nAgora calcule \pi R^{4}:\n\n \pi R^{4} = \pi \times 8{,}1\times 10^{-11} \approx 3{,}1416 \times 8{,}1\times 10^{-11} \approx 2{,}548\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^{4}}\n\nCalcule \rho g:\n\n \rho g = 880\\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} = 8632{,}8\\ \mathrm{N/m^{3}} \quad(\text{Pa por m})\n\nProduto \pi R^{4}\,\rho g:\n\n \pi R^{4}\,\rho g \approx 2{,}548\times 10^{-10}\times 8632{,}8 \approx 2{,}1996\times 10^{-6}\\ \mathrm{(SI)}\n\nDenominador 8\mu:\n\n 8\mu = 8\times 0{,}015 = 0{,}12\\ \mathrm{Pa\cdot s}\n\nAgora Q em \mathrm{m^{3}/s}:\n\n Q = \frac{2{,}1996\times 10^{-6}}{0{,}12} \approx 1{,}833\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}\n\nConverter para \mathrm{m^{3}/h} (multiplicar por 3600):\n\n Q = 1{,}833\times 10^{-5}\times 3600 \approx 0{,}0660\\ \mathrm{m^{3}/h}\n\nConclusão imediata: Para L=1\\ \mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m} a expressão dá o mesmo valor, porque Q é independente de L na fórmula usada. Logo a vazão estimada é \approx 0{,}0660\\ \mathrm{m^{3}/h} em ambos os casos (verificaremos hipóteses a seguir).

Passo 4

Verificação da condição de escoamento laminar (cálculo do número de Reynolds), e cálculo da velocidade média para usar no Reynolds:\n\nÁrea da seção transversal do tubo:\n\n A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \pi \times 9{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 2{,}827\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}\n\nVelocidade média U = Q/A:\n\n U = \frac{1{,}833\times 10^{-5}}{2{,}827\times 10^{-5}} \approx 0{,}6486\\ \mathrm{m/s}\n\nNúmero de Reynolds para escoamento em tubo:\n\n \mathrm{Re} = \frac{\rho U D}{\mu}\n\nSubstituindo valores:\n\n \mathrm{Re} = \frac{880 \times 0{,}6486 \times 0{,}006}{0{,}015} \approx \frac{3{,}4246}{0{,}015} \approx 228{,}3\n\nInterpretação: o regime laminar em tubos circulares é tipicamente para \mathrm{Re}\lesssim 2300 (ou até 2000 dependendo da fonte); aqui \mathrm{Re}\approx 228, muito abaixo do limite. Portanto o escoamento é claramente laminar, e usar a fórmula de Poiseuille é apropriado.\n\nAlém disso devemos checar se o escoamento pode ser considerado plenamente desenvolvido (para que a fórmula seja válida desde o trecho considerado). A aproximação prática para comprimento de entrada hidrodinâmico em regime laminar é:\n\n L_{e}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D\n\nCalculando:\n\n L_{e}\approx 0{,}05\times 228{,}3\times 0{,}006 \approx 0{,}0684\\ \mathrm{m}\n\nComo L=1\\ \mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m} são muito maiores que L_e\approx 0{,}0684\\ \mathrm{m}, o escoamento terá espaço suficiente para ficar plenamente desenvolvido — outra boa notícia que valida a aplicação de Poiseuille.

Passo 5

Resumo e interpretação final (um pouco de contexto prático):\n\n- A vazão encontrada é relativamente pequena ( \approx 0{,}066\\ \mathrm{m^{3}/h}, ou seja cerca de 66 litros por hora). Isso faz sentido: tubo muito fino e óleo relativamente viscoso.\n- A independência de Q em relação ao comprimento L é específica da situação em que a força que impulsiona o escoamento é o peso do fluido (gradiente de pressão por unidade de comprimento constante). Em outras situações (pressionamento por bomba com pressão fixa na entrada) a dependência com L aparece de outra forma.\n- Verificamos que o número de Reynolds é baixo, então a hipótese de laminar é segura. Também verificamos que os comprimentos dados são maiores que o comprimento de entrada, então o uso de Poiseuille para o escoamento plenamente desenvolvido é consistente.\n\nVocê aguenta mais um pouco? Se quiser, posso mostrar o mesmo cálculo em litros por minuto, ou em forma simbólica para aplicar a outros diâmetros/viscosidades — isso ajuda a treinar para a prova.

Resposta

Q\\ (L=1\\ \mathrm{m}) = 0{,}0660\\ \mathrm{m^{3}/h}\n Q\\ (L=2\\ \mathrm{m}) = 0{,}0660\\ \mathrm{m^{3}/h}\nEscoamento: laminar ( \mathrm{Re}\approx 228 ).

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