Óleo leve (
e
) escoa através de um tubo vertical de 6 mm de diâmetro por ação da gravidade. Estime a vazão do óleo em
para os seguintes comprimentos de tubulação
e
. Verifique se o escoamento é laminar.
Passo 1
O enunciado pede para estimar a vazão volumétrica do óleo em
quando ele escoa verticalmente por um tubo de diâmetro
devido à gravidade, para dois comprimentos
e
. Também pede para verificar se o escoamento é laminar.\n\nDados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):\n\n- Densidade:
\n- Viscosidade dinâmica:
(ou Pa·s)\n- Diâmetro do tubo:
\n- Raio do tubo:
\n- Aceleração da gravidade:
(usarei esse valor)\n- Comprimentos solicitados:
e
\n\nO que devemos entregar:\n\n- Estimativa da vazão volumétrica
em
para cada valor de
.\n- Verificação (cálculo) do número de Reynolds para dizer se o escoamento é laminar.
Passo 2
Qual método usar (explicação didática):\n\nQuando um fluido newtoniano (óleo aqui é tratado como newtoniano) escoa de forma viscosa, estável e plenamente desenvolvido dentro de um tubo circular, e a aceleração da gravidade fornece a força que “empurra” o fluido ao longo do tubo, a situação é equivalente a um escoamento implantado por um gradiente de pressão constante. Para escoamento laminar totalmente desenvolvido num tubo circular temos a lei de Poiseuille (Hagen–Poiseuille) que dá a vazão volumétrica como:\n\n
\n\nAqui:\n\n-
é a vazão volumétrica (m
/s),\n-
é o raio do tubo (m),\n-
é a viscosidade dinâmica (Pa·s),\n-
é a diferença de pressão ao longo do comprimento
(Pa),\n-
é o comprimento considerado (m).\n\nNo nosso caso a “força” que cria o gradiente de pressão é a gravidade. Para um trecho vertical descendente, a diferença de pressão por unidade de comprimento causada pela coluna de fluido é
. Assim o gradiente de pressão (módulo) é:\n\n
\n\nSubstituindo esse valor em Poiseuille obtemos a fórmula específica para escoamento devido à gravidade:\n\n
\n\nObservação importante (didática): note que
não depende de
, portanto, nessa idealização,
fica independente do comprimento
. Isso é razoável porque a força peso por unidade de comprimento é constante ao longo do tubo; o comprimento só define a perda total de pressão, mas a perda por unidade de comprimento é constante. Vamos calcular
a partir dessa expressão e depois verificar se as hipóteses (laminaridade e escoamento plenamente desenvolvido) são válidas para os comprimentos dados.
Passo 3
Cálculo numérico da vazão
(passo a passo, sem pular contas):\n\nPrimeiro calcule
:\n\n
\n
\n\nAgora calcule
:\n\n
\n\nCalcule
:\n\n
\n\nProduto
:\n\n
\n\nDenominador
:\n\n
\n\nAgora
em
:\n\n
\n\nConverter para
(multiplicar por 3600):\n\n
\n\nConclusão imediata: Para
e
a expressão dá o mesmo valor, porque
é independente de
na fórmula usada. Logo a vazão estimada é
em ambos os casos (verificaremos hipóteses a seguir).
Passo 4
Verificação da condição de escoamento laminar (cálculo do número de Reynolds), e cálculo da velocidade média para usar no Reynolds:\n\nÁrea da seção transversal do tubo:\n\n
\n\nVelocidade média
=
:\n\n
\n\nNúmero de Reynolds para escoamento em tubo:\n\n
\n\nSubstituindo valores:\n\n
\n\nInterpretação: o regime laminar em tubos circulares é tipicamente para
(ou até 2000 dependendo da fonte); aqui
, muito abaixo do limite. Portanto o escoamento é claramente laminar, e usar a fórmula de Poiseuille é apropriado.\n\nAlém disso devemos checar se o escoamento pode ser considerado plenamente desenvolvido (para que a fórmula seja válida desde o trecho considerado). A aproximação prática para comprimento de entrada hidrodinâmico em regime laminar é:\n\n
\n\nCalculando:\n\n
\n\nComo
e
são muito maiores que
, o escoamento terá espaço suficiente para ficar plenamente desenvolvido — outra boa notícia que valida a aplicação de Poiseuille.
Passo 5
Resumo e interpretação final (um pouco de contexto prático):\n\n- A vazão encontrada é relativamente pequena (
, ou seja cerca de
litros por hora). Isso faz sentido: tubo muito fino e óleo relativamente viscoso.\n- A independência de
em relação ao comprimento
é específica da situação em que a força que impulsiona o escoamento é o peso do fluido (gradiente de pressão por unidade de comprimento constante). Em outras situações (pressionamento por bomba com pressão fixa na entrada) a dependência com
aparece de outra forma.\n- Verificamos que o número de Reynolds é baixo, então a hipótese de laminar é segura. Também verificamos que os comprimentos dados são maiores que o comprimento de entrada, então o uso de Poiseuille para o escoamento plenamente desenvolvido é consistente.\n\nVocê aguenta mais um pouco? Se quiser, posso mostrar o mesmo cálculo em litros por minuto, ou em forma simbólica para aplicar a outros diâmetros/viscosidades — isso ajuda a treinar para a prova.