Os ovos cozinham à medida que suas proteínas desnaturam e coagulam. Um ovo é considerado cozido quando sua gema está firme. Essa condição ocorre quando a temperatura no centro da gema é igual a
. Estime o tempo necessário para cozinhar um ovo para as sequintes condições:
c) o coeficiente de transferência de calor convectivo entre o ovo e a água h é igual a
;
c) o coeficiente de transferência de calor convectivo entre o ovo e a água h é igual a
Passo 1
Beleza, vamos entender o que rolou. A questão é de transferência de calor transitória em um ovo (aproximado como esfera) imerso em água fervendo. A gema fica “cozida” quando o centro atinge 75 °C. Aqui o coeficiente de convecção é h = 1000 W/m²·K.
Conteúdo: condução transiente em esfera + número de Biot + solução por primeira ordem (termo dominante) ou uso de Heisler. Precisamos:
Conteúdo: condução transiente em esfera + número de Biot + solução por primeira ordem (termo dominante) ou uso de Heisler. Precisamos:
- Ver propriedades do ovo (ρ, c, k, α).
- Verificar se podemos usar “lumped capacitance” (Bi < 0,1) ou se precisamos da solução interna (Bi > 0,1).
- Calcular o tempo pela equação do primeiro termo da série (aprox. constante na superfície).
Passo 2
Dados típicos do ovo e condições:
- Raio da gema (aprox. do ovo) R = 0,02 m
- Temperatura inicial do centro Ti = 20 °C
- Temperatura da água (superfície) T∞ = 100 °C
- Temperatura de cozimento Tc = 75 °C
- Propriedades do ovo:
ρ ≃ 1030 kg/m³
c ≃ 3700 J/kg·K
k ≃ 0,5 W/m·K
logo, difusividade α = k/(ρ c) ≃ 0,5/(1030·3700) ≃ 1,31×10⁻⁷ m²/s.
Passo 3
Primeiro, confere o número de Biot para ver qual modelo usar:
Bi = h·R / k = 1000·0,02 / 0,5 = 40
Como Bi ≫ 0,1, o interior do ovo tem gradientes de temperatura importantes — não dá lumped capacitance. Temos que usar a solução para esfera com superfície a temperatura constante (T∞).
Bi = h·R / k = 1000·0,02 / 0,5 = 40
Como Bi ≫ 0,1, o interior do ovo tem gradientes de temperatura importantes — não dá lumped capacitance. Temos que usar a solução para esfera com superfície a temperatura constante (T∞).
Passo 4
Para esfera com T_surface = T∞ fixo, o centro evolui segundo (termo dominante n=1):
θ(t) = (T(0,t)−T∞)/(Ti−T∞) ≃ (6/π²) · exp[−π²·α·t/R²]
Queremos que T(0,t)=Tc, então
θc = (75−100)/(20−100) = (−25)/(−80) = 0,3125
Logo:
0,3125 = (6/π²) · exp[−π²·α·t/R²]
Isolando t:
exp[−π²·α·t/R²] = 0,3125·π²/6
t = − (R²/(π²·α)) · ln(0,3125·π²/6)
θ(t) = (T(0,t)−T∞)/(Ti−T∞) ≃ (6/π²) · exp[−π²·α·t/R²]
Queremos que T(0,t)=Tc, então
θc = (75−100)/(20−100) = (−25)/(−80) = 0,3125
Logo:
0,3125 = (6/π²) · exp[−π²·α·t/R²]
Isolando t:
exp[−π²·α·t/R²] = 0,3125·π²/6
t = − (R²/(π²·α)) · ln(0,3125·π²/6)
Substituindo valores:
R² = (0,02)² = 4×10⁻⁴ m²
π²·α ≃ 9,8696·1,31×10⁻⁷ ≃ 1,29×10⁻⁶ m²/s
0,3125·π²/6 ≃ 0,514
ln(0,514) ≃ −0,666
R² = (0,02)² = 4×10⁻⁴ m²
π²·α ≃ 9,8696·1,31×10⁻⁷ ≃ 1,29×10⁻⁶ m²/s
0,3125·π²/6 ≃ 0,514
ln(0,514) ≃ −0,666
Então
t ≃ − (4×10⁻⁴ / 1,29×10⁻⁶) · (−0,666)
t ≃ (310) · 0,666 ≃ 206 s
t ≃ − (4×10⁻⁴ / 1,29×10⁻⁶) · (−0,666)
t ≃ (310) · 0,666 ≃ 206 s
Passo 5
Convertendo para minutos dá cerca de 206 s / 60 ≃ 3,4 min. Isso indica que, sob convecção forte (h=1000), o tempo de cozimento do ovo (até 75 °C no centro) é de alguns minutos.
Resposta
t ≃ 206 s (aprox. 3,4 min)