Oyama & Endooh* estudaram a influência do número de aeração ( \mathrm{Na}=\mathrm{Q} / \mathrm{ND}^{3} ) sobre a relação \mathrm{Pg} / \mathrm{P} em líquidos agitados e aerados. Dos resultados publicados para um agitador dotado de uma turbina “vaned disk” de 6 palhetas, pode-se concluir que, para números de aeração menores do que 0,04 ; a relação \mathrm{Pg} / \mathrm{P} pode ser expressa com boa aproximação, pela equação:
\mathrm{Pg} / \mathrm{P}=(1-10 \mathrm{Na})
Para sistema análogo, mas sem aeração, Rushton e cols**, encontraram um valor para o Número de Potência constante e igual a 5,92. Baseando-se nestas informações e em outras obtidas no curso, resolver o problema abaixo:
Em uma fermentação em batelada, aerada e agitada, o sistema de agitação consta de um jogo de turbinas tipo “vaned disk” de 6 palhetas, girando a 75 rpm, e o escoamento no interior do biorreator é caracterizado por um número de Reynolds igual a 187.500. A viscosidade do mosto é de 0,02 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} e sua densidade é 1.172 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}. O biorreator é cilíndrico e dotado de chicanas, e opera com 40 \mathrm{~m}^{3} de mosto. Seu diâmetro é o dobro do diâmetro da turbina. A velocidade do ar através da seção reta do biorreator é de 85 \mathrm{~m} / \mathrm{h} e, nesta situação, o valor medido para o coeficiente volumétrico de absorção de oxigênio é \mathrm{Kv}=4,70 \mathrm{Kgmol} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{3} \mathrm{~atm}.
Pede-se responder os itens abaixo:
a. Potência necessária para agitar o mosto;
b. Capacidade do compressor de ar;
c. Espessura da camada de lã de vidro necessária à filtração do ar de processo, levando em conta o grau de esterilidade exigido \mathrm{N}_{\mathrm{o}} / \mathrm{N}=7 \times 10^{12}, e que 50 \% dos contaminantes do ar são retidos nos primeiros 35 mm do filtro.
Referências (*) Chem. Eng. Japan, 19, 2, 1955.
(**) Chem. Eng. Progress, 46, 467, 1950

Passo 1

O enunciado trata de um biorreator cilíndrico agit­ado por turbinas “vaned disk” de 6 palhetas girando a 75 rpm e aerado com uma velocidade de ar superficial de 85,m/h. Precisamos:
  1. Calcular a potência de agitação usando o número de potência sem aeração (P_0=5,92) e depois ajustar à aeração com \mathrm{Pg}/P=1-10\,\mathrm{Na}.
  2. Determinar a vazão de ar (capacidade do compressor) a partir da velocidade superficial e da seção do reator.
  3. Estimar a espessura x da lã de vidro usando um modelo de retenção exponencial, sabendo que 50\% dos contaminantes são retidos nos primeiros 35 mm e que o fator de esterilidade requerido é \frac{N_o}{N}=7\times10^{12}.
    Para achar o diâmetro do tanque suponho a relação padrão H=D, de modo que
V = \frac{\pi D^2}{4}\,H = \frac{\pi D^3}{4} = 40\;\mathrm{m^3},
e o diâmetro da turbina é D_t=D/2.

Passo 2

Determino o diâmetro do tanque D e da turbina D_t:
D^3 = \frac{4V}{\pi} = \frac{4\cdot40}{\pi}\approx50,93\quad\Rightarrow\quad D\approx(50,93)^{1/3}\approx3,71\;\mathrm{m},
D_t = \frac{D}{2}\approx1,855\;\mathrm{m}.

Passo 3

Calculo a potência sem aeração usando
P = P_0\,\rho\,N^3\,D_t^5,
onde P_0=5,92, \rho=1172,kg/m ^3, N=75/60=1,25,s ^{-1},
N^3\,D_t^5 = (1,25)^3\,(1,855)^5 \approx1,953\cdot21,98\approx42,9,
P_{\text{sem ar}} = 5,92\cdot1172\cdot42,9\approx2,98\times10^5\;\mathrm{W}\approx298\;\mathrm{kW}.

Passo 4

Ajusto para aeração. Primeiro o número de aeração
\mathrm{Na} = \frac{Q}{N\,D_t^3},
com Q = u_g\cdot A, u_g=85,m/h =85/3600\approx0,0236,m/s e
A = \frac{\pi D^2}{4}\approx\frac{\pi\,(3,71)^2}{4}\approx10,79\;\mathrm{m^2},
Q = 0,0236\cdot10,79\approx0,2547\;\mathrm{m^3/s},\quad N\,D_t^3 = 1,25\cdot(1,855)^3\approx1,25\cdot6,29\approx7,86,
\mathrm{Na}\approx\frac{0,2547}{7,86}\approx0,0324(<0,04).
Então
\frac{\mathrm{Pg}}{P} = 1 - 10\,\mathrm{Na}\approx1 - 10\cdot0,0324=0,676,
e
P_{\text{com ar}} = 0,676\cdot298\;\mathrm{kW}\approx201,\;\mathrm{kW}.

Passo 5

A vazão do compressor já foi calculada em Q=0,2547,m ^3/s. Em unidades de processo:
Q = 0,2547\;\mathrm{m^3/s}\times3600\approx916,9\;\mathrm{m^3/h}.

Passo 6

Para a filtração, adoto um modelo exponencial de retenção
\frac{N}{N_0} = e^{-\eta\,x}.
Sabendo que em x_1=35,mm retém 50\%, temos
0,5 = e^{-\eta\cdot0,035}\quad\Rightarrow\quad \eta = \frac{\ln2}{0,035}\approx19,8\;\mathrm{m^{-1}}.
Para alcançar \tfrac{N}{N_0}=1/(7\times10^{12}), escrevemos
\frac{1}{7\times10^{12}} = e^{-\eta\,x}\quad\Rightarrow\quad x = \frac{\ln(7\times10^{12})}{\eta} = \frac{\ln7 +12\ln10}{19,8}\approx\frac{29,58}{19,8}\approx1,49\;\mathrm{m}.

Resposta

a. P_{\text{agitação}}\approx201\;\mathrm{kW}.çã
b. Vazão de ar Q\approx917\;\mathrm{m^3/h}.
c. Espessura da lã de vidro x\approx1,49\;\mathrm{m}.

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