P 12.5. Como sabe, toda a matriz simétrica é diagonalizável. Será que, em geral, o produto de duas matrizes simétricas é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado pergunta se o produto de duas matrizes simétricas é sempre diagonalizável. Sabemos que toda matriz simétrica real é diagonalizável (até ortogonalmente), mas o produto de duas simétricas nem sempre é simétrica nem normal. Para decidir, basta dar um contraexemplo concreto de duas matrizes simétricas cujo produto não seja diagonalizável.
ou seja, o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
O espaço próprio associado satisfaz
0 & 1 0 & 0 x1 x2 =x20 =00,
logo x2=0 e x1 livre. O espaço próprio é unidimensional, mas exigiria dimensão 2 para diagonalizar. Portanto AB não é diagonalizável.
Passo 5
Concluímos que, embora cada matriz simétrica seja diagonalizável, o produto de duas matrizes simétricas nem sempre o é. O exemplo acima mostra uma matriz não diagonalizável gerada pelo produto.