P 12.5. Como sabe, toda a matriz simétrica é diagonalizável. Será que, em geral, o produto de duas matrizes simétricas é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pergunta se o produto de duas matrizes simétricas é sempre diagonalizável. Sabemos que toda matriz simétrica real é diagonalizável (até ortogonalmente), mas o produto de duas simétricas nem sempre é simétrica nem normal. Para decidir, basta dar um contraexemplo concreto de duas matrizes simétricas cujo produto não seja diagonalizável.

Passo 2

Escolhemos, por exemplo, as matrizes
A = 0 & 1 1 & 0, B = 0 & 0 0 & 1
Cada uma é simétrica, pois A^T=A e B^T=B.

Passo 3

Vamos calcular o produto
AB =0 & 1 1 & 0 0 & 0 0 & 1 = 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot0 + 1cdot1 1cdot0 + 0cdot0 & 1cdot0 + 0cdot1 =0 & 1 0 & 0

Passo 4

A matriz
AB = 0 & 1 0 & 0
tem polinômio característico
det(AB - lambda I) =det!-lambda & 1 0 & -lambda =lambda^2,
ou seja, o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
O espaço próprio associado satisfaz
0 & 1 0 & 0 x1 x2 =x20 =00,
logo x2=0 e x1 livre. O espaço próprio é unidimensional, mas exigiria dimensão 2 para diagonalizar. Portanto AB não é diagonalizável.

Passo 5

Concluímos que, embora cada matriz simétrica seja diagonalizável, o produto de duas matrizes simétricas nem sempre o é. O exemplo acima mostra uma matriz não diagonalizável gerada pelo produto.

Resposta

Não; por exemplo,
A=0&11&0, B=0&00&1
são simétricas, mas
AB=0&10&0
não é diagonalizável.

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