Calcule o raio e o centro do círculo definido pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano x+y+z=1 / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera
x^2+y^2+z^2=1
e o plano
x+y+z=tfrac12
A interseção desses dois sólidos é um círculo. Precisamos achar o centro e o raio desse círculo usando geometria analítica: projetar ortogonalmente o centro da esfera no plano e calcular a distância do centro da esfera ao plano para determinar o raio.

Passo 2

O centro do círculo é a projeção ortogonal do ponto P=(0,0,0) no plano de equação
x+y+z-tfrac12=0
Usamos a fórmula de projeção de um ponto P=(x0,y0,z0) no plano ax+by+cz+d=0:
P' ;=; P ;-;a x0+b y0+c z0+da^2+b^2+c^2,(a,b,c)
Aqui a=b=c=1 e d=-tfrac12, e x0=y0=z0=0. Logo
P' ;=;(0,0,0);-;1cdot0+1cdot0+1cdot0-tfrac121^2+1^2+1^2,(1,1,1) ;=;--tfrac123,(1,1,1) ;=;l(tfrac16,tfrac16,tfrac16r)

Passo 3

O raio do círculo é dado por
r ;=;raizR^2-D^2,
onde R=1 é o raio da esfera e D é a distância do centro da esfera ao plano. Calculamos
D ;=;l|a x0+b y0+c z0+dr|raiza^2+b^2+c^2 ;=;l|-tfrac12r|raiz3 ;=;12raiz3
Portanto
r ;=;raiz1-l(tfrac12raiz3r)^2 ;=;raiz1-tfrac112 ;=;raiztfrac1112 ;=;raiz336

Resposta

Centro: l(tfrac16,tfrac16,tfrac16r)
Raio: raiztfrac1112 (equivalente a tfracraiz336)

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