Se P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(C)=P(A cap B)=0,3, P(A cap C)= 0 e P(B cap C)=0,1, determine:
P[(A cap B) cup C].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! Temos alguns eventos A, B e C com probabilidades dadas. A gente precisa encontrar a probabilidade de (A cap B) cup C. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e operações com conjuntos. Vamos precisar saber como calcular a união e a interseção de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (A cap B) cup C. Essa expressão representa todos os resultados que estão tanto em A e B ao mesmo tempo, ou estão em C. Para calcular a probabilidade disso, vamos usar a fórmula da união de dois eventos:
P(X cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X cap Y)
Nesse caso, X é A cap B e Y é C. Então, a fórmula fica:
P[(A cap B) cup C] = P(A cap B) + P(C) - P[(A cap B) cap C]

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores que a gente tem. Sabemos que:
  • P(A cap B) = 0,3
  • P(C) = 0,3 (já que P(C) = P(A cap B))
  • Precisamos encontrar P[(A cap B) cap C]
Para isso, vamos lembrar que P(A cap C) = 0 e P(B cap C) = 0,1. A interseção (A cap B) cap C significa que o evento está simultaneamente em A, B e C. Mas como P(A cap C) = 0, isso implica que não há sobreposição entre A e C, logo:
P[(A cap B) cap C] = 0

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P[(A cap B) cup C] = 0,3 + 0,3 - 0 = 0,6

Resposta

A probabilidade de (A cap B) cup C é 0,6.

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