Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 45 minutos) e distribuiçảo exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhâ. Responda (
pontos):
b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?
b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de fila com dois servidores, onde os clientes chegam de forma aleatória seguindo uma distribuição exponencial com tempo médio de chegada de 45 minutos. Além disso, o tempo médio de serviço para cada cliente é de 30 minutos. Agora, um cliente chegou às 08 horas da manhã, e não houve mais nenhuma chegada até as 09:30 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de que a próxima chegada de cliente ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?
Para resolver isso, vamos precisar entender processos de Poisson e a distribuição exponencial que modela os tempos entre chegadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo de Poisson, os tempos entre chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial. A distribuição exponencial é definida por:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa de chegada (número de chegadas por unidade de tempo).
- $ t $ é o tempo.
Sabemos que o tempo médio entre chegadas é de 45 minutos, então podemos calcular $ \lambda $:
Passo 3
A propriedade memória sem memória da distribuição exponencial nos diz que o futuro de um processo de chegada não depende do que já aconteceu no passado. Ou seja, o fato de nenhum cliente ter chegado até as 09:30 não afeta a probabilidade das chegadas futuras.
Portanto, podemos considerar que estamos “reiniciando” o processo às 09:30 horas, e queremos saber a probabilidade de que o próximo cliente chegue dentro dos próximos 45 minutos (de 09:30 a 10:15).
Passo 4
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra em até $ t $ minutos é dada pela função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Aqui, $ t = 45 $ minutos. Vamos substituir os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor numérico de $ e^{-1} $:
Então:
Resposta
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas é de aproximadamente 63,21%.