Se P é condição necessária e suficiente para Q, então Q é condição necessária e suficiente para P ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que P é condição necessária e suficiente para Q, então Q também é condição necessária e suficiente para P. A informação dada é apenas: P é condição necessária e suficiente para Q.

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que significam as expressões (aqui explico cada termo devagarinho):
  • Dizer que P é condição necessária para Q significa que sempre que Q é verdadeiro então P também é verdadeiro. Em lógica isso se escreve Q \Rightarrow P.
  • Dizer que P é condição suficiente para Q significa que sempre que P é verdadeiro então Q também é verdadeiro. Em lógica isso se escreve P \Rightarrow Q.
  • Quando dizemos “necessária e suficiente” juntamos as duas: ou seja, tanto \,P \Rightarrow Q quanto \,Q \Rightarrow P são verdadeiras. Essa situação costuma ser abreviada por P \iff Q,
lê‑se “ P se e somente se Q”.

Passo 3

A partir da definição acima temos que a hipótese do enunciado é exatamente: P \Rightarrow Q\quad\text{e}\quad Q \Rightarrow P.
Mas essas duas implicações são simétricas: se ambas valem então também vale que Q implica P e que P implica Q — ou seja, as mesmas duas implicações mostram que Q é simultaneamente condição necessária e suficiente para P. Em símbolos, a partir de P \Rightarrow Q e Q \Rightarrow P obtemos Q \Rightarrow P\quad\text{e}\quad P \Rightarrow Q,
que é exatamente a afirmação “ Q é condição necessária e suficiente para P”, ou seja Q \iff P.

Passo 4

Para fixar a intuição, vejamos a tabela-verdade do conectivo bicondicional (dou só o essencial). Para os quatro casos possíveis de verdade de P e Q:
\begin{array}{c c | c} P & Q & P\iff Q\\hline V & V & V\\\ V & F & F\\\ F & V & F\\\ F & F & V \end{array}
a coluna de P\iff Q depende só da igualdade de verdade entre P e Q. Mas a igualdade é simétrica: se P e Q têm sempre o mesmo valor de verdade, então igualmente Q\iff P será verdadeira nas mesmas linhas. Isso mostra de maneira concreta que " P se e somente se Q" é o mesmo que " Q se e somente se P".

Passo 5

Um exemplo concreto para não ficar abstrato: seja P = “ n é par” e Q = “ n é múltiplo de 2”. Aqui P \iff Q é verdade. Logo também vale Q \iff P — isto é, Q é condição necessária e suficiente para P. Isso ilustra na prática a simetria.

Passo 6

Portanto, a propriedade “ser condição necessária e suficiente” é simétrica: se P é condição necessária e suficiente para Q, então Q é condição necessária e suficiente para P.

Resposta

Sim.

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