Se
é condição necessária e suficiente para
, então
é condição necessária e suficiente para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que
é condição necessária e suficiente para
, então
também é condição necessária e suficiente para
. A informação dada é apenas:
é condição necessária e suficiente para
.
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que significam as expressões (aqui explico cada termo devagarinho):
- Dizer que
é condição necessária para significa que sempre que é verdadeiro então também é verdadeiro. Em lógica isso se escreve - Dizer que
é condição suficiente para significa que sempre que é verdadeiro então também é verdadeiro. Em lógica isso se escreve - Quando dizemos “necessária e suficiente” juntamos as duas: ou seja, tanto
quanto são verdadeiras. Essa situação costuma ser abreviada por
lê‑se “
se e somente se
”.
Passo 3
A partir da definição acima temos que a hipótese do enunciado é exatamente:
Mas essas duas implicações são simétricas: se ambas valem então também vale que
implica
e que
implica
— ou seja, as mesmas duas implicações mostram que
é simultaneamente condição necessária e suficiente para
. Em símbolos, a partir de
e
obtemos
que é exatamente a afirmação “
é condição necessária e suficiente para
”, ou seja
Passo 4
Para fixar a intuição, vejamos a tabela-verdade do conectivo bicondicional (dou só o essencial). Para os quatro casos possíveis de verdade de
e
:
a coluna de
depende só da igualdade de verdade entre
e
. Mas a igualdade é simétrica: se
e
têm sempre o mesmo valor de verdade, então igualmente
será verdadeira nas mesmas linhas. Isso mostra de maneira concreta que "
se e somente se
" é o mesmo que "
se e somente se
".
Passo 5
Um exemplo concreto para não ficar abstrato: seja
= “
é par” e
= “
é múltiplo de
”. Aqui
é verdade. Logo também vale
— isto é,
é condição necessária e suficiente para
. Isso ilustra na prática a simetria.
Passo 6
Portanto, a propriedade “ser condição necessária e suficiente” é simétrica: se
é condição necessária e suficiente para
, então
é condição necessária e suficiente para
.
Resposta
Sim.