Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas:
Se dois números são negativos, então sua soma também é negativa.
Se dois números são negativos, então sua soma também é negativa.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte proposição: “Se dois números são negativos, então sua soma também é negativa.”
O que se pede: verificar se a recíproca dessa proposição é válida. Se for válida, enunciar a recíproca de pelo menos duas maneiras diferentes. Vou listar claramente as informações que temos:
O que se pede: verificar se a recíproca dessa proposição é válida. Se for válida, enunciar a recíproca de pelo menos duas maneiras diferentes. Vou listar claramente as informações que temos:
- Informação dada (a hipótese original): existem dois números, chamemos de
e . - A proposição original afirma: se
e , então . - Pergunta que devemos responder: a recíproca — "se
então e " — é verdadeira? Se sim, escrever essa recíproca de pelo menos duas maneiras distintas.
Passo 2
Vamos traduzir formalmente a proposição original para ficar claro o que é a recíproca.
- Definimos
como: " e ". - Definimos
como: “ ”.
A proposição original é: se ocorre então ocorre.
A recíproca é: "se então e ". É essa afirmativa que precisamos verificar.
Passo 3
Antes de testar a recíproca, é útil confirmar (rápido) que a proposição original
é verdadeira — isso ajuda a entender a diferença entre implicação e recíproca.
- Tomemos
e . Então existem e tais que e . - Então
. Como , segue que .
Logo, se os dois números são negativos, a soma é necessariamente negativa. A proposição original é verdadeira.
Passo 4
Agora tratamos da recíproca: afirmativa a verificar: "Se
então
e
".
Estratégia para decidir: para provar que uma implicação é falsa basta apresentar um contraexemplo — um par que satisfaz a hipótese
mas não satisfaz a conclusão
e
.
Estratégia para decidir: para provar que uma implicação é falsa basta apresentar um contraexemplo — um par
Passo 5
Procurando um contraexemplo. A ideia intuitiva: a soma pode ser negativa mesmo que apenas um dos números seja negativo, desde que o negativo tenha valor absoluto maior que o positivo. Vamos escolher valores concretos fáceis.
Apresentando o contraexemplo concreto:
Apresentando o contraexemplo concreto:
- Escolha
e . - Calculamos
. Assim é satisfeito. - Mas
não é negativo (tem ). Portanto a conclusão " e " é falsa neste caso.
Assim encontramosque satisfaz a hipótese da recíproca e contradiz a conclusão.
Passo 6
Explicação geral (para entender por que a recíproca falha): suponha
com
e
com
. Então
. Se
temos
mesmo com
. Ou seja, basta que um número negativo tenha módulo maior que o positivo para que a soma seja negativa. Há, portanto, muitos contraexemplos possíveis — não é um caso isolado.
Passo 7
Conclusão final: a recíproca não é válida. Como a recíproca é falsa, não há necessidade (nem é correto) enunciá-la como verdade; em vez disso, apresentou-se um contraexemplo que a refuta.
Resposta
A recíproca é falsa. Contraexemplo: para
e
tem-se
mas
, logo não vale que
implique
e
.