Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas:
Se dois números são negativos, então sua soma também é negativa.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte proposição: “Se dois números são negativos, então sua soma também é negativa.”
O que se pede: verificar se a recíproca dessa proposição é válida. Se for válida, enunciar a recíproca de pelo menos duas maneiras diferentes. Vou listar claramente as informações que temos:
  • Informação dada (a hipótese original): existem dois números, chamemos de a e b.
  • A proposição original afirma: se a<0 e b<0, então a+b<0.
  • Pergunta que devemos responder: a recíproca — "se a+b<0 então a<0 e b<0" — é verdadeira? Se sim, escrever essa recíproca de pelo menos duas maneiras distintas.

Passo 2

Vamos traduzir formalmente a proposição original para ficar claro o que é a recíproca.
  • Definimos P como: " a<0 e b<0".
  • Definimos Q como: “ a+b<0”.
    A proposição original é P\Rightarrow Q: se P ocorre então Q ocorre.
    A recíproca é Q\Rightarrow P: "se a+b<0 então a<0 e b<0". É essa afirmativa que precisamos verificar.

Passo 3

Antes de testar a recíproca, é útil confirmar (rápido) que a proposição original P\Rightarrow Q é verdadeira — isso ajuda a entender a diferença entre implicação e recíproca.
  • Tomemos a<0 e b<0. Então existem x>0 e y>0 tais que a=-x e b=-y.
  • Então a+b = -x - y = -(x+y). Como x+y>0, segue que a+b<0.
    Logo, se os dois números são negativos, a soma é necessariamente negativa. A proposição original é verdadeira.

Passo 4

Agora tratamos da recíproca: afirmativa a verificar: "Se a+b<0 então a<0 e b<0".
Estratégia para decidir: para provar que uma implicação é falsa basta apresentar um contraexemplo — um par (a,b) que satisfaz a hipótese a+b<0 mas não satisfaz a conclusão a<0 e b<0.

Passo 5

Procurando um contraexemplo. A ideia intuitiva: a soma pode ser negativa mesmo que apenas um dos números seja negativo, desde que o negativo tenha valor absoluto maior que o positivo. Vamos escolher valores concretos fáceis.
Apresentando o contraexemplo concreto:
  • Escolha a=-5 e b=3.
  • Calculamos a+b = -5 + 3 = -2. Assim a+b<0 é satisfeito.
  • Mas b=3 não é negativo (tem b>0). Portanto a conclusão " a<0 e b<0 " é falsa neste caso.
    Assim encontramos (a,b)=(-5,3) que satisfaz a hipótese da recíproca e contradiz a conclusão.

Passo 6

Explicação geral (para entender por que a recíproca falha): suponha a=-x com x>0 e b=y com y\ge 0. Então a+b = y-x. Se x>y temos a+b<0 mesmo com b\ge0. Ou seja, basta que um número negativo tenha módulo maior que o positivo para que a soma seja negativa. Há, portanto, muitos contraexemplos possíveis — não é um caso isolado.

Passo 7

Conclusão final: a recíproca não é válida. Como a recíproca é falsa, não há necessidade (nem é correto) enunciá-la como verdade; em vez disso, apresentou-se um contraexemplo que a refuta.

Resposta

A recíproca é falsa. Contraexemplo: para a=-5 e b=3 tem-se a+b=-2<0 mas b=3\not<0, logo não vale que a+b<0 implique a<0 e b<0.

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